Integrale di Riemann

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Rappresentazione grafica dell'approssimazione numerica dell'integrale di Riemann

In analisi matematica, l'integrale di Riemann è un operatore integrale tra i più utilizzati in matematica. Formulato da Bernhard Riemann, si tratta della prima definizione rigorosa di integrale di una funzione su un intervallo a essere stata formulata.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri una funzione continua , che su tale intervallo risulta limitata in virtù del teorema di Weierstrass. Si suddivida l'intervallo tramite una partizione in intervalli . Si definisce il calibro di una partizione il massimo tra le ampiezze di tutti gli intervalli della partizione scelta, cioè

Per ogni intervallo di ogni partizione si scelga arbitrariamente un elemento e si definisca la somma di Riemann come:

Alcune scelte comuni sono

  • in tal caso si ha una somma sinistra di Riemann;
  • in tal caso si ha una somma destra di Riemann;
  • in tal caso si ha una somma media di Riemann.

La funzione è integrabile secondo Riemann o Riemann-integrabile in se esiste finito il limite (che si dimostra non dipendere dalla scelta dei ):

Integrale multiplo di Riemann[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Integrale multiplo.

Sia un dominio normale, limitata e una misura. Sia una partizione di in domini normali.

Si definisce la somma di Riemann-Darboux come:

In generale la funzione è integrabile in se esiste finito il limite:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Proprietà dell'integrale di Riemann.

Riemman-integrabilità e Darboux-integrabilità[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Integrale di Darboux.

In generale una funzione è Riemann-integrabile se e solo se è Darboux-integrabile, e i valori dei due integrali, se esistono, sono uguali tra loro.

Linearità[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due funzioni continue definite in un intervallo e siano . Allora:

Additività[modifica | modifica wikitesto]

Sia continua e definita in un intervallo e sia . Allora:

Monotonia[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due funzioni continue definite in un intervallo e . Allora:

Valore assoluto[modifica | modifica wikitesto]

Sia integrabile in un intervallo , allora si ha:

Integrale di Stieltjes[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: integrale di Riemann-Stieltjes.

Una possibile generalizzazione dell'integrale di Riemann è data dall'integrale di Riemann-Stieltjes, che rende possibile estendere la nozione di integrale utilizzando come variabile di integrazione sotto il segno di differenziale una funzione (detta integratrice):

.

Se la funzione è differenziabile, vale la formula , e l'integrale di Riemann-Stieltjes coincide con quello di Riemann di , cioè:

.

L'integrale di Riemann-Stieltjes è tuttavia definito anche nel caso di funzioni integratrici più generiche, che non possiedono derivata, o che sono discontinue.

L'integrale di Riemann-Stieltjes generalizza l'integrale di Riemann in maniera diversa da quello di Lebesgue, e gli insiemi delle funzioni integrabili tramite i due metodi non sono sovrapponibili. È possibile tuttavia ottenere una generalizzazione di entrambi i metodi tramite l'integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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