Integrale di Riemann

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Rappresentazione grafica dell'approssimazione numerica dell'integrale di Riemann

In analisi matematica, l'integrale di Riemann è un operatore integrale tra i più utilizzati in matematica. Formulato da Bernhard Riemann, si tratta della prima definizione rigorosa di integrale di una funzione su un intervallo ad essere stata formulata.

Costruzione dell'integrale[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la partizione di un intervallo chiuso in sottointervalli di uguale ampiezza, e si consideri una funzione limitata definita su .

Per ogni intervallo della partizione si possono definire due punti:

che corrispondono all'ordinata minore nell'intervallo e all'ordinata maggiore dell'intervallo. Si definisce somma integrale inferiore relativa alla partizione il numero:

Ammettendo che assuma valori positivi nell'intervallo, la somma integrale inferiore è la somma dei rettangoli inscritti alla regione del piano. Analogamente, si definisce somma integrale superiore relativa alla partizione il numero:

La somma integrale superiore è quindi la somma delle aree dei rettangoli circoscritti alla regione. Si ponga:

si dimostra che per ogni coppia di partizioni e di si ha:

Per ogni possibile partizione di si definiscono:

Dal lemma precedente si può dedurre che gli insiemi e sono separati cioè:

L'assioma di completezza di afferma che allora esiste almeno un numero reale tale che:

Se vi è un unico elemento di separazione tra e allora si dice che è integrabile in secondo Riemann. L'elemento si indica con:

e si chiama integrale definito di in . I numeri e sono detti estremi di integrazione ed è detta funzione integranda. La variabile di integrazione è una variabile "muta" o "apparente": nulla cambia se ne viene cambiato il nome e è detto differenziale della variabile di integrazione.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale secondo Riemann di nell'intervallo chiuso e limitato è definito come il limite per che tende ad infinito della somma integrale:

detta somma integrale di Riemann. Se tale limite esiste, è finito e non dipende dalla scelta dei punti , si ha:

L'esistenza di un unico elemento separatore tra e nella definizione è equivalente a richiedere che:

La funzione limitata è integrabile in se e solo se per ogni esiste una partizione di tale per cui:

Se la funzione integrabile è positiva allora l'integrale assume il significato di area della regione, mentre se la funzione cambia segno su allora l'integrale rappresenta una somma di aree con segno diverso.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Proprietà dell'integrale di Riemann.

Linearità[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due funzioni continue definite in un intervallo e siano . Allora:

Additività[modifica | modifica wikitesto]

Sia continua e definita in un intervallo e sia . Allora:

Monotonia[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due funzioni continue definite in un intervallo e . Allora:

Teorema del confronto[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due funzioni continue definite in un intervallo e tali che in . Allora:

Valore assoluto[modifica | modifica wikitesto]

Sia integrabile in un intervallo , allora si ha:

Integrale di Stieltjes[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: integrale di Riemann-Stieltjes e integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Una possibile generalizzazione dell'integrale di Riemann è data dall'integrale di Riemann-Stieltjes, che rende possibile estendere la nozione di integrale utilizzando come variabile di integrazione sotto il segno di differenziale una funzione (detta integratrice):

.

Se la funzione è differenziabile, vale la formula , e l'integrale di Riemann-Stieltjes coincide con quello di Riemann di , cioè:

.

L'integrale di Riemann-Stieltjes è tuttavia definito anche nel caso di funzioni integratrici più generiche, che non possiedono derivata, o che sono discontinue.

L'integrale di Riemann-Stieltjes generalizza l'integrale di Riemann in maniera diversa da quello di Lebesgue, e gli insiemi delle funzioni integrabili tramite i due metodi non sono sovrapponibili. È possibile tuttavia ottenere una generalizzazione di entrambi i metodi tramite l'integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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