Teorema di Cauchy (analisi matematica)

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Il teorema degli incrementi finiti di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange.

Significato geometrico del teorema di Cauchy.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Siano due funzioni reali di variabile reale continue in e derivabili in .

Allora esiste un punto tale che

[1]

E quindi:

Questa forma però richiede che . La condizione è già soddisfatta dalla condizione poiché se per assurdo fosse uguale a allora esisterebbe un punto tale che , per il teorema di Rolle.

Dimostrazione del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la funzione di variabile reale definita nell'intervallo come

Questa funzione è continua nell'intervallo e derivabile in , e

Da cui .

La funzione soddisfa quindi le ipotesi del teorema di Rolle, per cui esiste un punto in cui , cioè

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

  • Considerando in particolare la funzione , si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.
  • Il teorema di Cauchy può essere utilizzato per dimostrare la regola di De L'Hôpital.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ P. M. Soardi, p. 222

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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