Spazio metrico

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Uno spazio metrico è un insieme di elementi, detti punti, nel quale è definita una distanza, detta anche metrica. Lo spazio metrico più comune è lo spazio euclideo di dimensione 1, 2 o 3.

Uno spazio metrico è in particolare uno spazio topologico, e quindi eredita le nozioni di compattezza, connessione, insieme aperto e chiuso. Si applicano quindi agli spazi metrici gli strumenti della topologia algebrica, quali ad esempio il gruppo fondamentale.

Qualsiasi oggetto contenuto nello spazio euclideo è esso stesso uno spazio metrico. Molti insiemi di funzioni sono dotati di una metrica: accade ad esempio se formano uno spazio di Hilbert o di Banach. Per questi motivi gli spazi metrici giocano un ruolo fondamentale in geometria e in analisi funzionale.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio metrico è una struttura matematica costituita da una coppia  (X,d) di elementi, dove  X è un insieme e  d una funzione distanza, detta anche metrica, che associa a due punti  x e  y di  X un numero reale non negativo  d(x,y) in modo che le seguenti proprietà valgano per ogni scelta di  x,y,z in  X :[1]

  • d(x,y) > 0 \quad x \ne y
  • d(x,y) = 0 \quad x = y
  • d(x,y) = d(y,x)\
  • d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)

L'ultima proprietà è detta disuguaglianza triangolare.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Struttura topologica[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio metrico possiede naturalmente anche una struttura topologica: l'insieme delle palle aperte centrate nei vari punti avente raggio variabile fornisce infatti una sua base topologica.

Esplicitamente, un insieme sarà aperto se è l'unione di un certo numero (finito o infinito) di palle. Uno spazio metrico è perciò, quasi per definizione, uno spazio metrizzabile.

Per una funzione definita in uno spazio metrico sarà possibile dunque parlare di continuità e la definizione generale (usando le controimmagini degli aperti) potrà essere riformulata in funzione di dischi:

f:(X,d) \to (Y,d') è continua in x_0 se per ogni r > 0 esiste un \delta (r) > 0 tale che x \in B_d(x_0,\delta(r)) implica f(x) \in B_{d'}(f(x_0),r),

dove B_d (risp. B_{d'}) rappresenta la palla nella metrica d (risp. d'). Scritta in un altro modo, questa definizione dice che:

f:(X,d) \to (Y,d') è continua in x_0 se per ogni r > 0 esiste un \delta (r) > 0 tale che d(x,x_0)<\delta(r) implica d'(f(x),f(x_0))<r.

Tale definizione è già molto vicina a quella usuale per funzioni reali.


Addizionalmente, uno spazio metrico è anche uno spazio uniforme, definendo un sottoinsieme V di M \times M essere un entourage se e solo se esiste un \epsilon > 0 tale che se d(x,y) < \epsilon allora (x,y) \in V. La struttura uniforme generalizza quella topologica.

È possibile costruire esempi semplici di metriche topologicamente equivalenti ma con strutture uniformi distinte: basta prendere, in \R, d_1 la metrica euclidea e d_2(x,y)=|e^x-e^y|; allora \{(x,y) \in \R^2 : |x-y| < 1\} è un entourage nella struttura uniforme data da d_1 ma non in quella data da d_2. Intuitivamente, la difformità è data dalla distorsione della metrica usuale secondo una funzione non uniformemente continua.

Spazi normati[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio vettoriale normato

(M,\|\cdot\|)

è in modo naturale anche uno spazio metrico dotato della distanza

d(x,y)=\|x-y\|

Le proprietà della distanza discendono infatti da quelle della norma.

Uno spazio vettoriale munito di una seminorma genera invece una pseudometrica, cioè una funzione che può assegnare distanza nulla a punti diversi, e quindi non uno spazio metrico. Si può ovviare all'inconveniente introducendo la relazione di equivalenza ~, che identifica due punti se e solo se hanno distanza nulla. Passando dunque all'insieme quoziente

X^*=X_{/\sim}

e definendo, se d è la pseudometrica,

d^*([x],[y])=d(x,y)

la funzione d^* risulta essere, oltre che ben definita, proprio una metrica per X^*. Il quoziente conserva la topologia che la pseudometrica induce su X (esattamente nello stesso modo in cui lo fa una metrica), cioè A è aperto in X se e solo se \pi(A)=[A] (ovvero i punti di A considerati a meno dell'equivalenza) è aperto in X^*.

Equivalenze[modifica | modifica sorgente]

Una biiezione f tra due spazi metrici (M_1,d_1), (M_2,d_2) si dice

Distanza tra punti e insiemi e tra insiemi[modifica | modifica sorgente]

Oltre alla distanza tra punti, in uno spazio metrico si possono introdurre altri concetti accessori, come la distanza tra un punto e un insieme, definita come

\delta(x,E)=\inf_{y \in E}d(x,y)

È \delta(x,E)=0 se e solo se x appartiene alla chiusura di E. Per questa funzione vale una versione generale della disuguaglianza triangolare, cioè

\delta(x,E) \leq d(x,y) + \delta(y,E).

Si possono definire inoltre più distanze tra insiemi.

  • Una è definita come l'estremo inferiore della distanza tra due punti dei due insiemi:
d(E,F)=\inf_{x \in E, y \in F}d(x,y)

Questa definizione, che è molto intuitiva, si rivela però poco utile, perché è solo una parametrica simmetrica, cioè soddisfa solo la non negatività e l'"auto-distanza" nulla: due insiemi non coincidenti con intersezione non vuota o che si toccano (cioè per esempio [1,2) e (2,3]) hanno distanza nulla.

  • Una definizione migliore è stata data da Felix Hausdorff ed è la seguente:
H(A,B)=max\{e(A,B),e(B,A)\},

dove per evitare notazioni pesanti si è indicato con e(A,B)=\sup_{x \in A}\delta(a,B) l'eccedenza di A su B; H è detta proprio distanza di Hausdorff di A da B. In generale H è solo una pseudometrica: la sua restrizione ai sottoinsiemi chiusi dello spazio metrico soddisfa però anche l'ultima proprietà mancante e la rende dunque una metrica su P_f(X)=\{S \subseteq X : S \, \mbox{chiuso}\}, sottoclasse dell'insieme delle parti di X.

Limitatezza[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Insieme limitato.

Lo spazio metrico è la struttura più povera in cui si può cominciare a parlare di limitatezza di un insieme. Se E \subseteq X, allora E si dice limitato secondo la metrica presente d se esiste un raggio finito M tale che

E \subset B_d(x,M) per qualche x in X.

Ci sono altre definizioni equivalenti, cioè:

  • ponendo per definizione diam(E)=\sup_{x,y \in E}d(x,y) il diametro di E, se esso è un numero finito;
  • se la sua chiusura è limitata.

La nozione è però ovviamente dipendente dalla distanza che si pone sull'insieme X: se per esempio X è uno spazio illimitato con distanza d, esso ha diametro 1 nella distanza d'={d \over 1+d}.

Spazi metrici prodotto[modifica | modifica sorgente]

Se X_1, ..., X_n sono spazi metrici con distanze g_1, ..., g_n rispettivamente allora si può definire una metrica nel prodotto cartesiano X_1 \times ... \times X_n tra \vec{x}=(x_1,...,x_n) e \vec{y}=(y_1,...,y_n) come

(g_1 \times ... \times g_n)(\vec{x},\vec{y}) := \sum_{i=1}^n{1 \over 2^i}{g_i(x_i,y_i) \over 1 + g_i(x_i,y_i)}.

La formula può essere estesa anche per prodotti numerabili.

In generale, se N è una norma in \R^n, allora si può definire la metrica normata nel prodotto cartesiano come

N(d_1,...,d_n)\Big((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)\Big) = N\Big(d_1(x_1,y_1),\ldots,d_n(x_n,y_n)\Big)

e la topologia generata è coerente con la topologia prodotto.

Come caso particolare, se n=2, X_1=X_2=X, d_1=d_2=d allora viene fuori che la funzione distanza d:X \times X \to \R^+ è uniformemente continua rispetto ogni metrica normata e dunque è una funzione continua rispetto alla topologia prodotto su X \times X.

Esempi di spazi metrici[modifica | modifica sorgente]

  • Lo spazio euclideo con la normale nozione di distanza.
  • Un insieme qualsiasi con la distanza definita nel modo seguente: la distanza tra due punti è 1 se i punti sono diversi, 0 altrimenti; in questo caso si dice distanza discreta.
  • L'insieme delle funzioni continue nell'intervallo [0,1] è metrizzabile con la seguente metrica: date due funzioni f1, f2 della variabile x il numero d = \max|f_1(x) - f_2(x)| è la distanza tra esse.
  • Un sottoinsieme di uno spazio metrico si può considerare anch'esso in modo naturale uno spazio metrico: basta munirlo della opportuna restrizione della funzione distanza dello spazio di partenza. Quindi qualsiasi sottoinsieme dello spazio euclideo è un esempio di spazio metrico.
  • Ogni spazio normato è uno spazio metrico, dove la distanza tra due punti  x,y è data dalla norma del vettore x-y. In questi casi si dice che la metrica è indotta dalla norma. Non vale però il viceversa, esistono cioè spazi metrici la cui metrica non può derivare da una norma, come mostra il prossimo esempio.
  • L'insieme R dei numeri reali, con la distanza data da
 d(x,y)=\left|\arctan(x)-\arctan(y)\right|.

Questa distanza, diversa da quella standard, non può essere indotta da una norma, in quanto non è invariante per traslazioni (ovvero d(x+z,y+z) è in generale diversa da d(x,y)), mentre tutte le distanze indotte da norme lo sono.

  • Se (X,d) è uno spazio metrico, allora è possibile definire una nuova metrica d_1 su X tale che qualunque coppia di punti di X abbia distanza minore o uguale a 1. Basta infatti prendere
 d_1(x,y)=\frac{d(x,y)}{d(x,y)+1}.

Si può verificare che d_1 è ancora una metrica su X. Inoltre se X è illimitato rispetto alla metrica d, risulta avere diametro 1 nella metrica d_1, ovvero risulta limitato nella metrica d_1. La nozione di limitatezza di un insieme non è dunque un concetto "assoluto".

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 9

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, 2004, SBN 978-3-03719-010-4.
  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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