Teorema di estensione di Tietze

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In matematica, il teorema di estensione di Tietze, anche chiamato semplicemente teorema di Tietze, è un teorema di topologia generale che, sotto certe ipotesi, afferma la possibilità di prolungare qualsiasi funzione a valori reali, continua, definita su un sottoinsieme di uno spazio topologico normale, ad una funzione continua definita sull'intero spazio.

Condizioni[modifica | modifica sorgente]

Gli spazi topologici che godono di tale importante proprietà sono gli spazi normali. Si tratta di spazi di cui, grazie al lemma di Urysohn, è già nota la ricchezza di funzioni reali continue non banali. Con tali funzioni è possibile separare qualsiasi coppia di insiemi chiusi e disgiunti mediante opportune funzioni reali continue[1]. Per quanto profonda, una simile proprietà permette, in apparenza, di costruire solo funzioni molto rudimentali, costanti su ciascuno dei due insiemi chiusi da separare.

Il teorema di Tietze assicura invece che, proprio grazie a tali "rudimentali" funzioni, è possibile inferire l'esistenza di un ricchissimo bagaglio di funzioni reali continue, costruite semplicemente a partire da una qualsiasi funzione continua definita su un sottospazio chiuso.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Il teorema afferma che ogni funzione continua, definita su un sottospazio chiuso di uno spazio topologico normale, a valori in un intervallo [-1,1], è prolungabile a una funzione reale continua a valori nello stesso intervallo. In simboli:

Se  f: C\to [-1, 1] è continua, con C\subseteq E chiuso e E normale, allora esiste  g:E\to [-1, 1] continua e tale che  g(x) = f(x) per ogni  x\in C.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Per dimostrare il teorema è necessario il seguente lemma preliminare, che assicura l'esistenza di estensioni, per così dire, approssimate. Siano E e C definiti come sopra e  h: C\to [-b, b] continua, con  C \subseteq E chiuso. Esiste allora  \phi :E\to [-b/3, +b/3] continua e tale che  |h(x) - \phi(x)| \leq (2/3)b per ogni  x \in C.

Infatti, si considerano i due insiemi disgiunti  A = \{t: h(t)\leq -(1/3)b \} e B = \{t: h(t)\geq (1/3)b \}
. Si tratta di insiemi chiusi, in quanto immagini inverse di chiusi tramite una funzione continua. Il lemma di Urysohn assicura l'esistenza di una funzione continua  \phi:E \to [-b/3 +b/3] che vale -b/3 su A e b/3 su B. È immediato verificare che essa soddisfa la disuguaglianza richiesta.

La dimostrazione del teorema di Tietze è un'applicazione ricorsiva del lemma. Si ponga  h = f (e, di conseguenza,  b = 1 ). Si trova una  \phi_0: E \to [-1/3, +1/3] continua tale che:

 |f(x) - \phi_0(x)| \leq 2/3

su E.

Si passa poi a considerare la funzione \ h = f - \phi_0 per la quale, essendo  |h| \leq 2/3 si deve porre  b = 2/3. Si trova allora una funzione  \phi_1: E \to [-2/3^2, 2/3^2] tale che:

 |h(x)- \phi_1(x)| = |f(x) - \phi_0(x)- \phi_1(x)| \leq (2/3)^2

su E.

Il passo compiuto si reitera ancora e, procedendo per induzione, si giunge a dimostrare l'esistenza di una successione di funzioni a valori reali e continue  \phi_n, n \in \N_0, tali che, per ogni indice n, si abbia:

|\phi_n(x))| \leq (1/3)(2/3)^n  \leq (2/3)^n  x \in E

e:

|f(c) - (\phi_1(c) + \phi_2(c) + \dots  + \phi_n(c))| \leq (2/3)^{n+1} \qquad c \in C

Ponendo

g_n(x) = \phi_0(x) + \phi_1(x) + \dots + \phi_n(x)

si avrà che ciascun termine della serie di funzioni g_n è dominata dalla successione (2/3)^n. Questo assicura la convergenza uniforme ad una funzione continua g (si veda convergenza totale di una serie di funzioni).

Inoltre, la disuguaglianza

|f(c) - g_n(c)| \leq (2/3)^{n+1}

assicura che la serie di funzioni g_n converge uniformemente a f su tutto C.

Quindi g costituisce l'estensione continua richiesta dalla tesi.

La richiesta che l'insieme di definizione della funzione di partenza sia chiuso è connaturata al problema stesso. È noto, da esempi presi dall'analisi elementare, che non è possibile garantire, in generale, il prolungamento continuo di funzioni definite su insiemi che non siano chiusi. Si pensi, ad esempio, alla funzione \sin(1/x): la funzione è continua sull'insieme, non chiuso, costituito dai reali diversi da 0, ma non estensibile in maniera continua nello zero.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Lo stesso si può dire, ovviamente e in maniera equivalente, per ogni coppia di insiemi (non necessariamente chiusi) senza punti di aderenza in comune.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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