Topologia del limite inferiore

In matematica, la topologia del limite inferiore o topologia degli intervalli aperti a destra è uno spazio topologico definito sull'insieme R dei numeri reali; differisce dalla topologia standard su R e possiede alcune proprietà interessanti. Questa topologia è generata dalla base costituita dagli intervalli semi-aperti [a,b), dove a e b sono numeri reali.

Lo spazio topologico risultante, a volte indicato con R_l e detto retta di Sorgenfrey, dal matematico Robert Sorgenfrey, può servire da controesempio in topologia generale. La topologia prodotto di R_l con se stesso è un altro utile controesempio noto come il piano di Sorgenfrey.

In completa analogia è possibile definire la topologia del limite superiore o topologia degli intervalli aperti a sinistra.

Proprietà

• La topologia del limite inferiore è più fine (possiede più insiemi aperti) della topologia standard sui numeri reali (che è generata dagli intervalli aperti). La ragione è che ogni intervallo aperto può essere espresso come unione infinita numerabile di intervalli semi-aperti.
• Per ogni numero reale a e b, l'intervallo [a, b) è chiuso-aperto in R_l (ossia è sia aperto che chiuso). Inoltre, per ogni numero reale a, anche gli insiemi {x ∈ R : x < a} e {x ∈ R : x ≥ a} sono chiusi-aperti. Ciò mostra che la retta di Sorgenfrey è totalmente disconnessa
• Il nome topologia del limite inferiore deriva dal seguente fatto: una successione (o una rete) (x_α) in R_l converge al limite L se e solo se si "avvicina ad L da destra", ossia per ogni ε>0 esiste un indice α₀ tale che per ogni α > α₀: L ≤ x_α < L + ε. La retta di Sorgenfrey può essere, quindi, utilizzata per lo studio dei limiti destri: se f : R → R è una funzione, allora il limite destro usuale di f in x (quando sia sul dominio che sul codominio è definita la topologia standard) coincide con il limite di f in x quando sul dominio è definita la topologia del limite inferiore e sul codominio quella standard.
• Rispetto agli assiomi di separazione, R_l è uno spazio normale.
• Rispetto agli assiomi di numerabilità, R_l è primo numerabile e separabile ma non secondo numerabile.
• Rispetto alle proprietà di compattezza, R_l è di Lindelöf e paracompatto, ma non σ-compatto e nemmeno localmente compatto.
• Dal momento che spazi metrici separabili sono secondo numerabili, R_l non è metrizzabile. Tuttavia, la topologia di una retta di Sorgenfrey è generata da uno spazio pseudometrico.
• R_l è uno spazio di Baire [1].

Note

• Lynn Arthur Steen e J. Arthur Jr. Seebach, Counterexamples in Topology, Dover reprint of 1978, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 507446.