Omeomorfismo

Una tazza ed una ciambella sono omeomorfi. Dalla "deformazione senza strappi" mostrata in figura si può infatti costruire un omeomorfismo fra i due oggetti.

In matematica, e più precisamente in topologia, un omeomorfismo (dal greco homoios = simile e morphe = forma, da non confondere con omomorfismo) è una particolare funzione fra spazi topologici che modella l'idea intuitiva di "deformazione senza strappi".

La nozione di omeomorfismo è molto importante in topologia. Due spazi topologici $X$ e $Y$ collegati da un omeomorfismo sono detti omeomorfi: da un punto di vista topologico, questi risultano essere praticamente uguali. In particolare, hanno gli stessi invarianti topologici.

Definizione

Un omeomorfismo fra due spazi topologici $X$ e $Y$ è una funzione continua $f\colon X\to Y$ che è anche biunivoca e la cui inversa $f^{-1}\colon Y\to X$ è anch'essa continua.

Una definizione equivalente è la seguente: un omeomorfismo è una corrispondenza biunivoca $f\colon X\to Y$ fra spazi topologici tale che un sottoinsieme $A$ di $X$ è aperto se e solo se lo è la sua immagine $f(A)$ in $Y$. Brevemente, è una corrispondenza biunivoca fra spazi topologici che induce una corrispondenza biunivoca fra i loro aperti.

Se esiste un omeomorfismo tra $X$ e $Y$, i due spazi sono detti omeomorfi. La relazione di omeomorfismo fra spazi topologici è una relazione di equivalenza.

L'omeomorfismo più banale è quello di uno spazio verso sé stesso attraverso la funzione identità sui suoi elementi. Se tre spazi $X$, $Y$ e $Z$ sono omeomorfi a due a due, allora sono omeomorfi tra di loro.

Omeomorfisimi e intorni

Dal punto di vista della topologia generale, un omeomorfismo $f\colon X\to Y$ definisce una corrispondenza biunivoca non solo tra i punti degli spazi, ma tra le loro strutture topologiche. In particolare, la condizione di continuità di $f$ e della sua inversa $f^{-1}$ si traduce in un isomorfismo tra i sistemi di intorni:

Sia ${\mathcal {I}}(x)$ l'insieme degli intorni di un punto $x\in X$. Una funzione $f$ è un omeomorfismo se e solo se la mappa indotta

$V\in {\mathcal {I}}(x)\iff f(V)\in {\mathcal {I}}(f(x))$

è una biiezione per ogni $x$. Ciò significa che $f$ preserva la relazione di "vicinanza" in senso topologico: un insieme è un intorno di un punto se e solo se la sua immagine è un intorno dell'immagine del punto.

Interpretazione intuitiva: l'impossibilità di strappi e incollature

L'omeomorfismo è spesso descritto intuitivamente come una deformazione elastica che non prevede "strappi" o "incollature".

Assenza di "strappi" (continuità di $f$):

Uno strappo avviene quando punti arbitrariamente vicini nel dominio vengono mappati in punti distanti nel codominio. Matematicamente, se $f$ non fosse continua, esisterebbe almeno un punto $x$ e un intorno $U$ di $f(x)$ tale che nessun intorno $V$ di $x$ verrebbe interamente contenuto in $U$.

Assenza di "incollature" (iniettività e continuità di $f^{-1}$):

L'iniettività impedisce che due punti distinti $x_{1},x_{2}$ vengano fusi in un unico punto $y$.

La continuità della funzione inversa $f^{-1}$ (o il fatto che $f$ sia una funzione aperta) impedisce che punti separati nel dominio possano essere mappati nel codominio in modo tale da non poter più distinguere i loro intorni originari. Se si incollassero due lembi di uno spazio, punti che prima avevano intorni disgiunti si ritroverebbero ad avere intorni condivisi nel punto di contatto, rendendo impossibile riportare indietro la struttura in modo continuo.

Esempi

Intervalli della retta reale

Siano $a<b$ due numeri reali. La funzione

${\begin{aligned}f\colon [0,1]&\to [a,b]\\x&\mapsto a+(b-a)x\end{aligned}}$

è un omeomorfismo. Infatti è continua, biunivoca, e la sua inversa

${\begin{aligned}f^{-1}\colon [a,b]&\to [0,1]\\y&\mapsto {\frac {y-a}{b-a}}\end{aligned}}$

è anch'essa continua. Ogni intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ è quindi omeomorfo all'intervallo $[0,1]$. Dalla proprietà transitiva segue quindi che gli intervalli chiusi e limitati sono tutti omeomorfi fra loro.

Si verifica analogamente che gli intervalli aperti $(a,b)$ sono tutti omeomorfi fra loro. Non solo: un intervallo aperto è omeomorfo all'intera retta reale $\mathbb {R}$ tramite la funzione tangente

${\begin{aligned}f\colon (-\pi /2,\pi /2)&\to \mathbb {R} \\x&\mapsto \tan x\end{aligned}}$

che è biunivoca, continua e con inversa continua (la funzione arcotangente). La limitatezza non è quindi un invariante topologico: uno spazio limitato come $(0,1)$ può essere omeomorfo ad uno spazio illimitato, come $\mathbb {R}$.

Proprietà

Due spazi omeomorfi godono esattamente delle stesse proprietà topologiche (separabilità, connessione, semplice connessione, compattezza...). Nel linguaggio della teoria delle categorie, si dice che un omeomorfismo è un isomorfismo tra spazi topologici.

Bibliografia

• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, Torino 2006, ISBN 88-339-5548-6.
• Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.

Voci correlate

• Omeomorfismo locale
• Omotopia
• Isomorfismo
• Omeomorfismo (teoria dei grafi)
• Diffeomorfismo

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) homeomorphism / topological equivalence, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Homeomorphism / Homeomorphic, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Omeomorfismo / Omeomorfismo (altra versione), su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

Controllo di autorità	GND (DE) 4352383-3