Teorema fondamentale del calcolo integrale

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In matematica, il teorema fondamentale del calcolo integrale, detto anche teorema di Torricelli-Barrow, stabilisce un'importante connessione tra i concetti di integrale e derivata per funzioni a valori reali di variabile reale.

In particolare, dimostra che calcolare il valore dell'integrale di una funzione, a partire da un punto fisso fino ad un punto variabile del suo dominio, equivale esattamente a trovare una primitiva della funzione stessa. La prima parte del teorema è detta primo teorema fondamentale del calcolo, e garantisce l'esistenza della primitiva per funzioni continue, ossia che qualsiasi funzione continua è la derivata di qualche altra funzione. La seconda parte del teorema è detta secondo teorema fondamentale del calcolo, e consente di calcolare l'integrale definito di una funzione attraverso una qualsiasi delle sue primitive.

Una prima versione del teorema è dovuta a James Gregory,[1] mentre Isaac Barrow ne fornì una versione più generale.[2] Isaac Newton, studente di Barrow, e Gottfried Leibniz completarono successivamente lo sviluppo della teoria matematica in cui è ambientato il teorema.

Prima parte[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione integrabile. Si definisce funzione integrale di la funzione tale che:

Se è limitata, allora è una funzione continua in .

Se inoltre è una funzione continua in , allora è differenziabile in tutti i punti in cui è continua e si ha:[3]

cioè la risulta essere una primitiva di

Dimostrazione

Se è integrabile in , allora vale la proprietà di additività dell'integrale. Si consideri, all'interno dell'intervallo un piccolo intervallo contenente il punto generico. Si può scrivere:

e quindi:

Se è limitata, allora esiste un valore in modo che su tutto l'intervallo si verifica:

Ciò corrisponde alla definizione di continuità di nel punto , portando al limite per .

Se inoltre la funzione è anche continua in un punto , allora la funzione integrale è differenziabile in quel punto e la sua derivata vale a .

Si consideri infatti il rapporto incrementale di :

Per la proprietà di additività dell'integrale, si può scrivere:

Dal teorema della media integrale risulta che esiste un punto , interno all'intervallo , tale che:

Si ha dunque:

Quando si ha:

poiché . Inoltre, in forza della continuità di , si ha:

e si può concludere che:

ovvero la tesi.

Corollario del primo teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione continua che ammette una primitiva su . Esista cioè tale che:

Se è integrabile si ha:[4]

Формула Ньютона-Лейбница (анимация)

Tale relazione è detta formula fondamentale del calcolo integrale.

Dimostrazione

Poiché per ipotesi è integrabile, si può porre come nella prima parte del teorema:

in modo che sia:

Dal teorema precedente si ottiene che:

poiché è continua dalle ipotesi. Dall'altra ipotesi che segue che

per ogni .

Per un corollario del teorema di Lagrange, esiste dunque una costante tale che , ovvero:

da cui si ottiene, sostituendo alla funzione integrale la primitiva generica :

Seconda parte[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione Riemann-integrabile sul suo dominio e che ammette primitiva, ossia esiste

per ogni , allora

Dimostrazione

Poiché è Riemann-integrabile, esiste ed è unico per ogni partizione dell'insieme di integrazione

dove è un elemento di , , e per ogni .

Da e segue .

Poiché per l'altra ipotesi , applicando le osservazioni precedenti alla definizione di derivata otteniamo

per continuità di in (implicata dall'esistenza della derivata in quel punto).

Sostituendo l'espressione trovata per nella somma di Riemann abbiamo

che è una serie telescopica, dunque .

Ricordando che e che , per transitività dell'identità otteniamo

QED

Relazione fra i due teoremi[modifica | modifica wikitesto]

Dal secondo teorema se su , se è integrabile, allora per ogni

Definiamo

Poiché è somma di funzioni derivabili ma dunque . Se assumiamo addizionalmente l'ipotesi di continuità di si deriva precisamente il primo teorema dal secondo e dalle proprietà basilari della derivata.

Viceversa il primo teorema fondamentale del calcolo ha un'ipotesi in più del secondo (la continuità di ), dunque questo non può seguire (nel suo caso generale) dall'altro.

Facendo un esempio concreto, la formula fondamentale del calcolo, usando solo il primo teorema, non si potrebbe applicare a

che è integrabile e ammette primitiva ma è discontinua in , mentre è ancora valida per il secondo teorema.

Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue[modifica | modifica wikitesto]

La continuità assoluta è una condizione necessaria e sufficiente alla validità del teorema fondamentale del calcolo integrale nell'ambito della teoria dell'integrale di Lebesgue. Una funzione definita sull'intervallo compatto a valori in è assolutamente continua se possiede una derivata definita quasi ovunque e integrabile secondo Lebesgue tale che:

In modo equivalente, esiste una funzione su integrabile secondo Lebesgue tale che:

Tale definizione di assoluta continuità è detta teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue. Se le precedenti condizioni equivalenti sono verificate si ha:

quasi ovunque.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

L'enunciato del teorema può essere mostrato utilizzando diversi punti di vista:

Approccio fisico[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga di avere un punto che si muove lungo una retta la cui posizione al tempo è individuata dalla funzione . La velocità istantanea in ogni momento è pari alla derivata . Lo spazio percorso nell'intervallo di tempo che va da a è dato dalla differenza tra le posizioni occupate negli istanti e , e d'altra parte lo spazio percorso sarà anche uguale alla somma degli spazi percorsi in ogni istante. Se quindi si divide l'intervallo di tempo in intervallini molto piccoli:

si può trattare il moto in ciascun intervallo di tempo come se la velocità fosse approssimativamente costante, quindi lo spazio percorso nell'i-esimo intervallo di tempo è:

Lo spazio percorso in tutto l'intervallo di tempo è uguale alla somma degli spazi percorsi in tutti gli intervalli di tempo , cioè:

e analogamente nell'altra notazione:

Grazie alla definizione di integrale di Riemann, la somma al secondo membro tende a quando gli intervalli di tempo considerati hanno lunghezze arbitrariamente piccole.

Approccio algebrico[modifica | modifica wikitesto]

Data una somma e una sequenza tale che , allora grazie alla proprietà associativa dell'addizione la somma si semplifica:

cioè si riduce alla differenza di sugli "estremi" dell'insieme su cui varia k. Questo tipo di somme che si possono "accorciare" vengono chiamate somme telescopiche. L'analogia con la formula fondamentale del calcolo:

non è casuale. Si supponga di approssimare l'integrale della derivata mediante una somma finita di aree di rettangolini di base lunga e altezza immaginando di aver diviso l'intervallo in sottointervalli lunghi , con e . L'integrale approssimato è dato dalla sommatoria:

ed è possibile approssimare le derivate che compaiono nella sommatoria con i rapporti incrementali, dal momento che:

Rimpiazzando queste quantità approssimate nella sommatoria si ha:

e semplificando si ottiene:

In conclusione, semplificando tutti gli addendi di segno opposto si ha:

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

L'argomento appena presentato può essere usato (con piccole modifiche) per dimostrare la formula fondamentale del calcolo. Si consideri per ogni un'approssimazione dell'integrale di Riemann di simile alla precedente, ma in cui si calcola su valori interni a ciascun intervallo :

in cui è dato dal teorema di Lagrange applicato a nell'intervallo , cioè:

Allora, fatte le dovute semplificazioni, si ha:

D'altra parte, dalla definizione di integrale di Riemann l'integrale approssimato che si è considerato deve convergere (se è integrabile secondo Riemann) per all'integrale ; e dunque è dimostrata la formula fondamentale del calcolo.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema si può generalizzare in diverse direzioni. Si possono considerare in primo luogo le estensioni della nozione di derivata in spazi euclidei a più dimensioni (il concetto di funzione differenziabile e di derivata parziale) e l'integrazione su varietà di forme differenziali. Gli analoghi del teorema fondamentale del calcolo in questo contesto sono il teorema di Ostrogradskij, il teorema di Kelvin e la loro generalizzazione: il teorema di Stokes.

Nell'ambito dell'integrazione secondo Lebesgue il teorema fondamentale del calcolo diviene più generale e potente ed asserisce che l'integrale di una funzione sommabile è una funzione assolutamente continua (e pertanto differenziabile quasi ovunque), la cui derivata debole è l'integranda stessa. Naturalmente, nel caso in cui si assumano maggiori ipotesi di regolarità (per esempio, la continuità dell'integranda), si ottiene immediatamente il teorema fondamentale del calcolo di cui sopra.

Cambiando ancora il genere di metodo di integrazione coinvolto si ottengono versioni del teorema ancora più potenti: utilizzando il cosiddetto "integrale di gauge", definito in vari modi da Denjoy, Perron, Henstock e Kurzweil, infatti si può dimostrare che il secondo teorema vale senza alcuna ipotesi sulla funzione .

Si può considerare anche la nozione di derivabilità e integrabilità sul piano complesso (vedi le funzioni olomorfe e meromorfe), in questo caso gli analoghi del teorema fondamentale del calcolo sono il teorema integrale di Cauchy e il teorema dei residui.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114.
  2. ^ The geometrical lectures of Isaac Barrow, translated, with notes and proofs, and a discussion on the advance made therein on the work of his predecessors in the infinitesimal ...
  3. ^ W. Rudin, Pag. 130.
  4. ^ W. Rudin, Pag. 131.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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