Teorema dei residui

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Il teorema dei residui in analisi complessa è uno strumento per calcolare gli integrali di linea di funzioni olomorfe o meromorfe su curve chiuse. Può essere usato anche per calcolare integrali reali. Esso generalizza il teorema integrale di Cauchy e la formula integrale di Cauchy.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia un insieme aperto del piano complesso . Siano punti di singolarità della funzione in . Sia inoltre una curva semplice chiusa in tale che sia contenuto nel sottoinsieme limitato di delimitato da .

Se è una funzione olomorfa su , allora l'integrale della funzione su è dato dalla:

dove denota il residuo di in , e è l'indice di avvolgimento della curva attorno a .

L'indice di avvolgimento (o winding number) è un intero che rappresenta intuitivamente il numero di volte con cui la curva si avvolge attorno ad ; esso è positivo se gira in senso antiorario attorno a e negativo viceversa, nullo se non circonda alcun punto singolare.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri il dominio all'interno della curva . Si considerino multiplamente connesso, dove sono le curve che circondano i punti di singolarità percorsi in senso antiorario. Tenendo conto dei versi positivi dei percorsi, dal teorema integrale di Cauchy (generalizzato ai domini multiplamente connessi) deriva facilmente che:

ma dalla definizione di residuo l'ultimo integrale non è altro che il residuo -esimo, per cui:

Da notare che l'indice di avvolgimento è necessario qualora i percorsi vengano eseguiti in sensi opposti o più di una volta.

Somma dei residui[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso in cui sia il piano complesso, il teorema dei residui ha come applicazione il fatto seguente.

Sia

una funzione olomorfa. La somma dei residui nei punti è sempre zero. In altre parole:

dove è il residuo all'infinito di .

Lemmi[modifica | modifica wikitesto]

Per risolvere praticamente gli integrali in forma complessa, sono necessari alcuni lemmi aggiuntivi che permettono di semplificare e risolvere gli integrali stessi.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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