Asintoto

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Curva asintotica rispetto all'asse delle ordinate e alla retta y=x

Una retta è detta asintoto del grafico di una funzione quando la distanza di un punto qualsiasi della funzione da tale retta tende a 0 al tendere all' dell'ascissa o dell'ordinata del punto.[1]

Il termine asintoto è utilizzato in matematica per designare una retta, o più generalmente una curva, alla quale si avvicina indefinitamente una funzione data. Con il termine asintoto, senza ulteriori specificazioni, si intende, genericamente, una retta, a meno che dal contesto non emerga un altro significato, quando si vuole essere più specifici si parla di retta asintotica o, più in generale, di curva asintotica.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

In matematica espressioni come "avvicinarsi indefinitamente" (o l'equivalente "tendere a") non sono definite rigorosamente, se non utilizzando in modo esplicito il concetto di limite. Volendo adottare un linguaggio più conforme a quello che si impiega nello studio dei limiti, si può dire che "la curva A è un asintoto della curva C" se, comunque si fissi una distanza minima, esiste un tratto contiguo, non limitato, della curva C che dista dall'asintoto A meno della distanza minima fissata.

In generale, la curva C può intersecare anche più volte il suo asintoto A. Tuttavia storicamente e in modo intuitivo, l'asintoto era considerato una curva A alla quale la nostra curva C si avvicina senza mai raggiungerla. Questo rende ragione della etimologia del termine, che deriva dal greco ἀσύμπτωτος a-sým-ptōtos, dove a- ha un valore privativo, mentre sým-ptōtos è composto da syn-, "con", e ptōtós, un aggettivo che connota ciò che "cade". Dunque sým-ptōtos descrive ciò che "cade assieme", ovvero ciò che "interseca", e a-sým-ptōtos etimologicamente descrive ciò che "non interseca", nel senso che si diceva poco fa. Volendo si può fare ricorso ad un linguaggio figurato e dire che c'è una "intersezione all'infinito" fra A e C. È questa particolare "intersezione all'infinito" che rende A "asintoto" di C.

Rette asintotiche[modifica | modifica wikitesto]

Asintoto verticale[modifica | modifica wikitesto]

La retta di equazione è asintoto verticale alla curva rappresentativa della funzione , se vale almeno una delle seguenti relazioni[2][1]

La retta di equazione può essere asintoto verticale ascendente o discendente a seconda che tenda a più infinito o a meno infinito. In generale la ricerca degli asintoti verticali per una funzione si effettua calcolando i limiti destro e sinistro (o uno di questi), e, in tal caso, vale comunque la definizione data.

Per esempio la funzione tangente ha un numero infinito di asintoti verticali in corrispondenza dei valori con , cioè le rette sono asintoti verticali.

Un altro esempio è il logaritmo naturale il quale ha come asintoto verticale la retta .

Asintoto orizzontale[modifica | modifica wikitesto]

La retta di equazione è asintoto orizzontale alla curva di equazione , se[3]:

In generale, si ha un asintoto orizzontale quando la funzione è scrivibile nella forma: dove è una funzione infinitesima nell'intorno dell'infinito (tende a zero per tendente ad infinito) e è un valore finito.

Asintoto obliquo[modifica | modifica wikitesto]

A volte può esistere un asintoto obliquo, ovvero la funzione tende asintoticamente ad una retta di equazione [4].

Questo accade quando si ha

e una condizione analoga si ha per i limiti a .

Esiste un teorema che afferma[5] che la condizione necessaria e sufficiente affinché sia asintoto obliquo del grafico di per è che esista finito:

e che sia

e che esista finito anche:

e che sia

L'enunciato per è identico.

Come esempio notevole consideriamo la funzione

il cui grafico è contenuto in una iperbole. Si può facilmente verificare che le rette sono asintoti rispettivamente a .

Punto di vista proiettivo[modifica | modifica wikitesto]

Le tre situazioni precedenti ne formano solo una in geometria proiettiva, con un asintoto visto come tangente all'infinito.

Altri asintoti[modifica | modifica wikitesto]

Punto asintotico[modifica | modifica wikitesto]

Un esempio è la spirale.

Curva asintotica[modifica | modifica wikitesto]

Tridente di Newton

Una curva di equazione ammette una parabola asintoto di equazione e un'iperbole asintoto di equazione . La figura costituisce un tridente di Newton.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, p. U63, ISBN 978-88-08-03933-0.
  2. ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, p. 256, ISBN 88-251-7090-4.
  3. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, p. U65, ISBN 978-88-08-03933-0.
  4. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, pp. U142-143, ISBN 978-88-08-03933-0.
  5. ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, p. 258, ISBN 88-251-7090-4.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0.
  • Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

  • Asintoto, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
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