Asintoto

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Curva asintotica rispetto all'asse delle ordinate e alla retta y=x

Il termine asintoto è utilizzato in matematica per designare una retta, o più generalmente una curva, alla quale si avvicina indefinitamente una funzione data. Con il termine asintoto, senza ulteriori specificazioni, si intende, genericamente, una retta, a meno che dal contesto non emerga un altro significato, quando si vuole essere più specifici si parla di retta asintotica o, più in generale, di curva asintotica.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

In matematica espressioni come "avvicinarsi indefinitamente" (o l'equivalente "tendere a") non sono definite rigorosamente, se non utilizzando in modo esplicito il concetto di limite. Volendo adottare un linguaggio più conforme a quello che si impiega nello studio dei limiti, si può dire che "la curva A è un asintoto della curva C" se, comunque si fissi una distanza minima, esiste un tratto contiguo, non limitato, della curva C che dista dall'asintoto A meno della distanza minima fissata,

In generale, la curva C può intersecare anche più volte il suo asintoto A. Tuttavia storicamente e in modo intuitivo, l'asintoto era considerato una curva A alla quale la nostra curva C si avvicina senza mai raggiungerla. Questo rende ragione della etimologia del termine, che deriva dal greco ἀσύμπτωτος a-sým-ptōtos, dove a- ha un valore privativo, mentre sým-ptōtos è composto da syn-, "con", e ptōtós, un aggettivo che connota ciò che "cade". Dunque sým-ptōtos descrive ciò che "cade assieme", ovvero ciò che "interseca", e a-sým-ptōtos etimologicamente descrive ciò che "non interseca", nel senso che si diceva poco fa. Volendo si può fare ricorso ad un linguaggio figurato e dire che c'è una "intersezione all'infinito" fra A e C. È questa particolare "intersezione all'infinito" che rende A "asintoto" di C.

Rette asintotiche[modifica | modifica sorgente]

Asintoto verticale[modifica | modifica sorgente]

La retta di equazione x=a è asintoto verticale alla curva rappresentativa della funzione y = f(x), se vale almeno una delle seguenti relazioni:

  1. \lim_{x \to a^{-}} f(x)=\pm\infty
  2. \lim_{x \to a^{+}} f(x)=\pm\infty.

La retta di equazione x=a può essere asintoto verticale ascendente o discendente a seconda che tenda a più infinito o a meno infinito. In generale la ricerca degli asintoti verticali per una funzione si effettua calcolando i limiti destro e sinistro (o uno di questi), e, in tal caso, vale comunque la definizione data.

Per esempio la funzione tangente ha un numero infinito di asintoti verticali in corrispondenza dei valori \frac{k \pi}{2} con k \in \mathbb{Z}, cioè le rette x = k \frac{\pi}{2} sono asintoti verticali.

Un altro esempio è il logaritmo di Nepero il quale ha un asintoto verticale x = 0.

Asintoto orizzontale[modifica | modifica sorgente]

La retta di equazione y=c è asintoto orizzontale alla curva di equazione y = f(x), se:

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = c

In generale, si ha un asintoto orizzontale quando la funzione è scrivibile nella forma: y = c + h(x) dove h(x) è una funzione infinitesima nell'intorno dell'infinito (tende a zero per x tendente ad infinito) e c è un valore finito.

Asintoto obliquo[modifica | modifica sorgente]

A volte può esistere un asintoto obliquo, ovvero la funzione tende asintoticamente ad una retta di equazione y = m x + q.

Questo accade quando si ha

\begin{align}
\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x)-(mx+q) \right] = 0
\end{align}

e una condizione analoga si ha per i limiti a −∞.

Come esempio notevole consideriamo la funzione

 f(x) = \sqrt{1+x^2}

il cui grafico è contenuto in una iperbole. Si può facilmente verificare che le rette y = \pm x sono asintoti rispettivamente a \pm \infty.

Punto di vista proiettivo[modifica | modifica sorgente]

Le tre situazioni precedenti ne formano solo una in geometria proiettiva, con un asintoto visto come tangente all'infinito.

Altri asintoti[modifica | modifica sorgente]

Punto asintotico[modifica | modifica sorgente]

Esempio la spirale

Curva asintotica[modifica | modifica sorgente]

Una curva di equazione y = (ax3 + bx2 + cx + d)/x ammette una parabola asintoto di equazione y = ax2 + bx + c e un'iperbole asintoto di equazione y = d/x. La figura costituisce un tridente di Newton.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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