Logaritmo naturale

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Grafico di y=ln(x)

Il logaritmo naturale (o logaritmo neperiano) è il logaritmo in base e, dove è uguale a Il logaritmo naturale è definito per tutte le reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero[1].

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che è il numero per cui . Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le reali positive.

In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue:

Il logaritmo naturale di è l'area sottesa dal grafico di da ad . In altre parole, è il risultato dell'integrale

.

Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:

Questo può essere dimostrato definendo e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:

Il numero può essere definito come l'unico numero reale tale che .

Convenzioni[modifica | modifica wikitesto]

  • In matematica si è soliti utilizzare la scrittura "log(x)" per intendere loge(x); altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (es. log10(x) è il logaritmo in base di ).[2][3][4][5][6]
  • In ingegneria, biologia e altre scienze generalmente si scrive "ln(x)" o (raramente) "loge(x)" per intendere il logaritmo naturale di , mentre si scrive "log(x)" per intendere log10(x).
  • In alcuni testi della fine del XX secolo, il logaritmo in base 10 veniva scritto con l'iniziale maiuscola e sottintendendo la base: [1].
  • Nei più comuni linguaggi di programmazione, tra cui C, C++, Fortran, e BASIC, "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale.
  • Nelle calcolatrici il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base .
  • Nel campo dell'analisi asintotica della complessità degli algoritmi, per log N si sottintende il logaritmo in base 2 di N.

La funzione inversa dell'esponenziale in base e[modifica | modifica wikitesto]

La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale, quindi si ha che:

per tutte le positive e
per tutte le reali.

In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.

I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale strettamente positiva e diversa da , non solo , inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.

Derivata[modifica | modifica wikitesto]

La derivata della funzione logaritmo naturale è data da[7]

Serie comuni[modifica | modifica wikitesto]

La serie di Taylor centrata in del logaritmo naturale è[8]:

Utilizzando l'identità

e sostituendo nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene

Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni con valore assoluto maggiore di :

Si noti inoltre che è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero è sufficiente sostituire al posto di .

Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:

Integrali e regole di integrazione[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti[9]:

Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma che si traducono nella scrittura : l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:

Cioè[10]

e[11]

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Con quest'ultima regola, è possibile calcolare gli integrali della tangente e della cotangente sfruttando le loro definizioni:

Da cui ponendo si ha che e quindi:

dove è la costante reale arbitraria degli integrali indefiniti.

Calcolo del logaritmo naturale e cambio di base[modifica | modifica wikitesto]

Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base . È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di ):

che diventa:

Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:

e

.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7. p.402
  2. ^ Walter Rudin, Principi di analisi matematica, McGraw-Hill Libri Italia, 1953, p. 60.
  3. ^ Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Elementi di analisi matematica uno, Liguori, 2002, p. 33.
  4. ^ Carlo Pagani e Sandro Salsa, Analisi, vol. I, Masson, 1995, p. 192.
  5. ^ Nicolas Bourbaki, Elements of Mathematics. Functions of a real variable, Springer, 2004, p. 92.
  6. ^ A. W. Knapp, Basic Real Analysis, Birkhauser, 2005, p. 40.
  7. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0. p.V12
  8. ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p.239
  9. ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 5, >Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4. p.562
  10. ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 5, >Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4. p.533
  11. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0. p.W9

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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