Logaritmo naturale

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Grafico di y=ln(x)

Il logaritmo naturale, descritto per la prima volta da Nepero, è il logaritmo in base e, dove è uguale a Il logaritmo naturale è definito per tutte le reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che è il numero per cui . Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le reali positive.

In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue:

Il logaritmo naturale di è l'area sottesa dal grafico di da ad . In altre parole, è il risultato dell'integrale

.

Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:

Questo può essere dimostrato definendo e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:

Il numero può essere definito come l'unico numero reale tale che .

Convenzioni[modifica | modifica wikitesto]

  • I matematici sono soliti utilizzare la scrittura "log(x)" per intendere loge(x); altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (es. log10(x) è il logaritmo in base di ).
  • Ingegneri, biologi e altre professioni generalmente scrivono "ln(x)" o (raramente) "loge(x)" per intendere il logaritmo naturale di , mentre per "log(x)" sottintendono log10(x).
  • Nei più comuni linguaggi di programmazione, tra cui C, C++, Fortran, e BASIC, "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale.
  • Nelle calcolatrici il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base .

La funzione inversa dell'esponenziale in base e[modifica | modifica wikitesto]

La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale, quindi si ha che:

per tutte le positive e
per tutte le reali.

In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.

I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale positiva diversa da , non solo , inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.

Derivata[modifica | modifica wikitesto]

La derivata della funzione logaritmo naturale è data da:

Serie comuni[modifica | modifica wikitesto]

La serie di Taylor centrata in del logaritmo naturale è:

Utilizzando l'identità

e sostituendo nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene

Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni con valore assoluto maggiore di :

Si noti inoltre che è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero è sufficiente sostituire al posto di .

Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:

Integrali e regole di integrazione[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti:

Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma che si traducono nella scrittura : l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:

Cioè

e

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Se è la tangente di , allora:

Da cui ponendo si ha che e quindi:

dove è la costante reale arbitraria degli integrali indefiniti.

Calcolo del logaritmo naturale e cambio di base[modifica | modifica wikitesto]

Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base . È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di ):

che diventa:

Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:

e

.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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