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In matematica , il metodo di integrazione per parti è una delle principali procedure di risoluzione di integrali . Se un integrando è scomponibile nel prodotto di due funzioni, il metodo permette di calcolare l'integrale in termini di un altro integrale il cui integrando sia il prodotto della derivata di una funzione e della primitiva dell'altra.
Siano
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
funzioni continue e derivabili in
x
{\displaystyle x}
[1]
d
d
x
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
d
f
(
x
)
d
x
g
(
x
)
+
f
(
x
)
d
g
(
x
)
d
x
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}[f(x)g(x)]={\frac {{\text{d}}f(x)}{{\text{d}}x}}g(x)+f(x){\frac {{\text{d}}g(x)}{{\text{d}}x}}=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)}
Applicando ora l'operatore integrale ad entrambi i membri dell'equazione si ottiene:
∫
d
d
x
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
d
x
=
∫
[
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
]
d
x
=
∫
[
f
′
(
x
)
g
(
x
)
]
d
x
+
∫
[
f
(
x
)
g
′
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle \int {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}[f(x)g(x)]{\text{d}}x=\int [f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x=\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x+\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}
(Attenzione: abbiamo tacitamente supposto che gli integrali al secondo membro dell'equazione esistano).
Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che:[2]
f
(
x
)
g
(
x
)
=
∫
[
f
′
(
x
)
g
(
x
)
]
d
x
+
∫
[
f
(
x
)
g
′
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle f(x)g(x)=\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x+\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}
quindi per risolvere un integrale possiamo sfruttarla nella seguente forma:
∫
[
f
′
(
x
)
g
(
x
)
]
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
[
f
(
x
)
g
′
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle \int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x=f(x)g(x)-\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}
La forza di questo metodo risiede nella capacità di individuare, fra le due funzioni
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
f
′
(
x
)
d
x
=
d
f
(
x
)
{\displaystyle f^{\prime }(x){\text{d}}x={\text{d}}f(x)}
fattore differenziale , mentre
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
fattore finito .[3]
Volendo applicare il procedimento appena eseguito su un intervallo di integrazione
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
f
(
x
)
g
(
x
)
|
a
b
=
∫
a
b
[
f
′
(
x
)
g
(
x
)
]
d
x
+
∫
a
b
[
f
(
x
)
g
′
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle \left.f(x)g(x)\right|_{a}^{b}=\int _{a}^{b}[f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x+\int _{a}^{b}[f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}
cioè:
∫
a
b
[
f
′
(
x
)
g
(
x
)
]
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
|
a
b
−
∫
a
b
[
f
(
x
)
g
′
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}[f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x=\left.f(x)g(x)\right|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}[f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}
Vogliamo svolgere per parti:
∫
[
sin
(
x
)
cos
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle \int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x}
Poniamo
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sin(x)}
g
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
{\displaystyle g^{\prime }(x)=\cos(x)}
∫
[
f
(
x
)
g
′
(
x
)
]
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
[
f
′
(
x
)
g
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle \int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x=f(x)g(x)-\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x}
ottenendo:
∫
[
sin
(
x
)
cos
(
x
)
]
d
x
=
sin
(
x
)
sin
(
x
)
−
∫
[
cos
(
x
)
sin
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle \int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x=\sin(x)\sin(x)-\int [\cos(x)\sin(x)]{\text{d}}x}
2
∫
[
sin
(
x
)
cos
(
x
)
]
d
x
=
sin
2
(
x
)
{\displaystyle 2\int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x=\sin ^{2}(x)}
∫
[
sin
(
x
)
cos
(
x
)
]
d
x
=
sin
2
(
x
)
2
+
C
{\displaystyle \int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x={\frac {\sin ^{2}(x)}{2}}+C}
Vogliamo risolvere per parti:
∫
x
e
x
d
x
{\displaystyle \int xe^{x}{\text{d}}x}
Poniamo
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
g
′
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle g^{\prime }(x)=e^{x}}
∫
[
f
(
x
)
g
′
(
x
)
]
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
[
f
′
(
x
)
g
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle \int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x=f(x)g(x)-\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x}
cioè:
∫
x
e
x
d
x
=
x
e
x
−
∫
e
x
d
x
{\displaystyle \int xe^{x}{\text{d}}x=xe^{x}-\int e^{x}{\text{d}}x}
∫
x
e
x
d
x
=
x
e
x
−
e
x
+
C
{\displaystyle \int xe^{x}{\text{d}}x=xe^{x}-e^{x}+C}
∫
x
e
x
d
x
=
e
x
(
x
−
1
)
+
C
{\displaystyle \int xe^{x}{\text{d}}x=e^{x}(x-1)+C}
Alcuni integrali possono essere risolti con il metodo di integrazione per parti in modo iterativo. Ad esempio:
I
1
=
∫
sin
2
x
d
x
.
{\displaystyle I_{1}=\int \sin ^{2}x\,dx.}
Usando il metodo di integrazione per parti:
∫
sin
(
x
)
⋅
sin
(
x
)
d
x
=
∫
sin
(
x
)
⋅
(
−
cos
(
x
)
)
′
d
x
=
{\displaystyle \int \sin(x)\cdot \sin(x)\,dx=\int \sin(x)\cdot (-\cos(x))'\,dx=}
=
−
sin
(
x
)
cos
(
x
)
+
∫
cos
2
(
x
)
d
x
=
−
sin
(
x
)
⋅
cos
(
x
)
+
∫
(
1
−
sin
2
(
x
)
)
d
x
.
{\displaystyle =-\sin(x)\cos(x)+\int \cos ^{2}(x)\,dx=-\sin(x)\cdot \cos(x)+\int (1-\sin ^{2}(x))\,dx.}
Dunque:
I
1
=
x
−
sin
(
x
)
⋅
cos
(
x
)
−
∫
sin
2
(
x
)
d
x
=
x
−
sin
(
x
)
⋅
cos
(
x
)
−
I
1
,
{\displaystyle I_{1}=x-\sin(x)\cdot \cos(x)-\int \sin ^{2}(x)\,dx=x-\sin(x)\cdot \cos(x)-I_{1},}
quindi abbiamo ottenuto che:
I
1
=
∫
sin
2
(
x
)
d
x
=
1
2
(
x
−
sin
(
x
)
⋅
cos
(
x
)
)
+
C
.
{\displaystyle I_{1}=\int \sin ^{2}(x)dx={\frac {1}{2}}\left(x-\sin(x)\cdot \cos(x)\right)+C.}
A questo punto possiamo calcolare tutti gli
I
n
+
1
{\displaystyle I_{n+1}}
I
n
+
1
=
∫
sin
2
n
+
1
(
x
)
sin
(
x
)
d
x
=
∫
sin
2
n
+
1
(
x
)
⋅
(
−
cos
(
x
)
)
′
d
x
=
{\displaystyle I_{n+1}=\int \sin ^{2n+1}(x)\sin(x)\,dx=\int \sin ^{2n+1}(x)\cdot (-\cos(x))'\,dx=}
=
−
sin
2
n
+
1
(
x
)
⋅
cos
(
x
)
+
(
2
n
+
1
)
∫
sin
2
n
(
x
)
⋅
cos
2
(
x
)
d
x
=
−
sin
2
n
+
1
(
x
)
cos
x
+
(
2
n
+
1
)
∫
sin
2
n
(
x
)
(
1
−
sin
2
x
)
d
x
{\displaystyle =-\sin ^{2n+1}(x)\cdot \cos(x)+(2n+1)\int \sin ^{2n}(x)\cdot \cos ^{2}(x)\,dx=-\sin ^{2n+1}(x)\cos x+(2n+1)\int \sin ^{2n}(x)(1-\sin ^{2}x)\,dx}
I
n
+
1
=
1
2
n
+
2
[
(
2
n
+
1
)
I
n
−
sin
2
n
+
1
(
x
)
⋅
cos
(
x
)
]
+
C
.
{\displaystyle I_{n+1}={\frac {1}{2n+2}}\left[(2n+1)I_{n}-\sin ^{2n+1}(x)\cdot \cos(x)\right]+C.}
La formula dell'integrazione per parti può essere estesa a funzioni di più variabili. Al posto di un intervallo si integra su un insieme n -dimensionale. Inoltre, si sostituisce alla derivata la derivata parziale .[4]
Nello specifico, sia Ω un sottoinsieme aperto limitato di
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
u e v sono due funzioni differenziabili con continuità sulla chiusura di Ω, allora la formula di integrazione per parti è:
∫
Ω
∂
u
∂
x
i
v
d
x
=
∫
∂
Ω
u
v
ν
i
d
σ
−
∫
Ω
u
∂
v
∂
x
i
d
x
{\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}v\,dx=\int _{\partial \Omega }uv\,\nu _{i}\,d\sigma -\int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,dx}
dove
ν
{\displaystyle \nu }
normale alla superficie unitaria uscente da ∂Ω, νi i -esima componente, con i che va da 1 a n . Sostituendo v nella formula precedente con v i i si ottiene la formula vettoriale:
∫
Ω
∇
u
⋅
v
d
x
=
∫
∂
Ω
u
v
⋅
ν
d
σ
−
∫
Ω
u
∇
⋅
v
d
x
{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {v} \,dx=\int _{\partial \Omega }u\,\mathbf {v} \cdot \nu \,d\sigma -\int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {v} \,dx}
dove v è una funzione a valori vettoriali con componenti v i
Ponendo u uguale alla funzione costante 1 nella formula precedente si ottiene il teorema della divergenza . Con
v
=
∇
v
{\displaystyle \mathbf {v} =\nabla v}
v
∈
C
2
(
Ω
¯
)
{\displaystyle v\in C^{2}({\bar {\Omega }})}
∫
Ω
∇
u
⋅
∇
v
d
x
=
∫
∂
Ω
u
∇
v
⋅
ν
d
σ
−
∫
Ω
u
Δ
v
d
x
{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\partial \Omega }u\,\nabla v\cdot \nu \,d\sigma -\int _{\Omega }u\,\Delta v\,dx}
che è la prima identità di Green .
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p.W12^ Carla Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p.295^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 5 , Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p.560^ Carlamaria Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di analisi matematica II , CittàStudi Edizioni - Milano, 1997, ISBN 88-251-7206-0 . pp.392-397 Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . Carlamaria Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . Carlamaria Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di analisi matematica II , CittàStudi Edizioni - Milano, 1997, ISBN 88-251-7206-0 . Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 5 , Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . 
![{\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}[f(x)g(x)]={\frac {{\text{d}}f(x)}{{\text{d}}x}}g(x)+f(x){\frac {{\text{d}}g(x)}{{\text{d}}x}}=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2564d1c0cb491e43bc025f932e44b13fd20ce55)
![{\displaystyle \int {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}[f(x)g(x)]{\text{d}}x=\int [f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x=\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x+\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d38740c6bb3da743913b800a8da5bae67bdc30cb)
![{\displaystyle f(x)g(x)=\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x+\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0f0717fe71ef3de775eb050e55fbaa3574093fe)
![{\displaystyle \int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x=f(x)g(x)-\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641c4a3b2bed3be031a2d61df9f0e6f3e976bcae)
![{\displaystyle \left.f(x)g(x)\right|_{a}^{b}=\int _{a}^{b}[f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x+\int _{a}^{b}[f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674a13b6cc559ccf68203d109bb70cf2814c34e3)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}[f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x=\left.f(x)g(x)\right|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}[f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c667e19a49b7302e7d78c8f01c6d5d1caadf84)
![{\displaystyle \int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1b64ea64048150d9bfe1208e2dfdfe9563b862)
![{\displaystyle \int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x=f(x)g(x)-\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978d92ec6ca0a8c13198fff59c35b0ec41957509)
![{\displaystyle \int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x=\sin(x)\sin(x)-\int [\cos(x)\sin(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ba743cb208ff5e7fe6b5b634c50dcdc7628e27)
![{\displaystyle 2\int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x=\sin ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5fef197d489533ddb29c467103932e15919d7a)
![{\displaystyle \int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x={\frac {\sin ^{2}(x)}{2}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9f32586b6867e22045a56c82986fcf31111864)
![{\displaystyle I_{n+1}={\frac {1}{2n+2}}\left[(2n+1)I_{n}-\sin ^{2n+1}(x)\cdot \cos(x)\right]+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a0d4c47806d26da8487197ffdd67dfe8057604)
