Integrazione per parti

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In matematica, il metodo di integrazione per parti è una delle principali procedure di risoluzione di integrali. Se un integrando è scomponibile nel prodotto di due funzioni, il metodo permette di calcolare l'integrale in termini di un altro integrale il cui integrando sia il prodotto della derivata di una funzione e della primitiva dell'altra

Il metodo[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due funzioni continue e derivabili in . La derivata del prodotto delle due funzioni è pari a:

Applicando ora l'operatore integrale ad entrambi i membri dell'equazione si ottiene

(Attenzione: abbiamo tacitamente supposto che gli integrali al secondo membro dell'equazione esistano)

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che

quindi per risolvere un integrale possiamo sfruttarla nella seguente forma:

La forza di questo metodo risiede nella capacità di individuare, fra le due funzioni e , quella più facilmente derivabile/integrabile in maniera da poterla utilizzare per eliminare la difficoltà di integrazione insorta

Volendo applicare il procedimento appena eseguito su un intervallo di integrazione si ottiene

cioè:

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Vogliamo svolgere per parti

Poniamo e e scriviamo

cioè

  • Vogliamo risolvere per parti

Poniamo e e scriviamo

cioè

Formule ricorsive di integrazione[modifica | modifica wikitesto]

Alcuni integrali possono essere risolti con il metodo di integrazione per parti in modo iterativo. Ad esempio:

Usando il metodo di integrazione per parti:

Dunque:

quindi abbiamo ottenuto che:

A questo punto possiamo calcolare tutti gli integrali di questo tipo:

Più dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

La formula dell'integrazione per parti può essere estesa a funzioni di più variabili. Al posto di un intervallo si integra su un insieme n-dimensionale. Inoltre, si sostituisce alla derivata la derivata parziale.

Nello specifico, sia Ω un sottoinsieme aperto limitato di con un bordo ∂Ω. Se u e v sono due funzioni differenziabili con continuità sulla chiusura di Ω, allora la formula di integrazione per parti è

dove è la normale alla superficie unitaria uscente da to ∂Ω, νi è la sua i-esima componente, con i che va da 1 a n. Sostituendo v nella formula precedente con vi e sommando su i si ottiene la formula vettoriale

dove v è una funzione a valori vettoriali con componenti vi

Ponendo u uguale alla funzione costante 1 nella formula precedente si ottiene il teorema della divergenza. Con dove , si ottiene

che è la prima identità di Green.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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