Cotangente

Grafico della funzione y=cot(x)

La cotangente di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra il cateto ad esso adiacente e quello opposto

In matematica, in particolare in trigonometria, la cotangente di un angolo è definita come la proiezione sull'asse $x$ del punto di incontro tra il prolungamento del secondo lato dell'angolo orientato e la retta che tange la circonferenza goniometrica nel punto $(0;1)$. Spesso si usa definirla anche tramite il rapporto tra il coseno ed il seno dello stesso angolo:

$\cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}$,

oppure ricordando che la cotangente è il reciproco della tangente: $\cot x={\frac {1}{\tan x}}.$

In un triangolo rettangolo, la cotangente di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra il cateto ad esso adiacente e quello opposto. Ne segue appunto che la cotangente è il reciproco della tangente.

La cotangente è una funzione continua nel dominio ed è periodica con periodo minimo $\pi$, cioè $\cot x=\cot(x+k\pi ),k\in \mathbb {Z}$. Non è una funzione limitata, né invertibile. Tuttavia se si restringe il dominio all'intervallo $(0,\pi )$ la funzione cotangente ristretta risulta invertibile in quanto strettamente monotona (in particolare strettamente decrescente) in tale intervallo.

La sua derivata è ${\frac {d}{dx}}\cot x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-(1+\cot ^{2}x)$, mentre la sua funzione primitiva è: $\int \cot {x}\,\mathrm {d} x=\ln {\left|\operatorname {sen} {x}\right|+c}.$

La funzione inversa della cotangente ristretta all'intervallo $(0,\pi )$ prende il nome di arcocotangente.

Lo sviluppo di Taylor della funzione cotangente (qui arrestato al quinto ordine) è: $\cot x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}+o(x^{6}).$ Inoltre la cotangente, essendo il reciproco della tangente che è una funzione dispari, è ancora una funzione dispari, e ciò comporta che:

$\cot(-x)=-\cot {x}.$

La seguente tabella elenca i principali valori notevoli della funzione cotangente:

x in radianti	0	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {5\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
x in gradi	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	180°	270°	360°
cot(x)	$\nexists$	$2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {3}}$	1	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$2-{\sqrt {3}}$	0	$\nexists$	0	$\nexists$

Bibliografia

• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
• Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0.

Voci correlate

• Funzioni trigonometriche
• Arcocotangente
• Tangente (matematica)

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Collegamenti esterni

• cotangente, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• cotangènte, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• cotangènte, su sapere.it, De Agostini.
• cotangente, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) cotangent, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Cotangente, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Cotangente, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.