Teorema di Nepero

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In matematica, il teorema di Nepero afferma le seguenti identità, utilizzando la notazione standard per gli elementi di un triangolo:

Un triangolo generico con le comuni notazioni

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Siano , , i lati di un triangolo, e siano , , gli angoli opposti, rispettivamente.

Per il teorema dei seni , e . Sostituendo si ottiene:

(1)

Consideriamo il secondo membro: usando le formule di prostaferesi, la formula di duplicazione del seno e l'identità diventa

Consideriamo il primo addendo del numeratore del primo membro:

Usando la formula di bisezione del coseno, le formule di prostaferesi, le identità e , otteniamo:

Allo stesso modo si ottiene che

Sostituendo le espressioni trovate per il primo e il secondo membro nella (1) e usando la formula di somma del seno, otteniamo

Usando la formula di duplicazione del seno otteniamo

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