Formule di Werner

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In trigonometria, le formule di Werner permettono di trasformare prodotti di funzioni trigonometriche di due angoli in somme e differenze di funzioni trigonometriche.

Le formule prendono il nome dal matematico tedesco Johann Werner che le definì agli inizi del XVI secolo.

Questa categoria di formule trigonometriche è raramente utilizzata nella risoluzione di equazioni trigonometriche, poiché, in genere, porta ad una formulazione più complessa dell'espressione matematica.

Il valore di queste formule risiede, tuttavia, nel ruolo fondamentale che esse rivestono nell'algoritmo di prostaferesi che storicamente è stato uno degli strumenti che hanno permesso ad astronomi e naviganti di semplificare l'esecuzione manuale di moltiplicazioni.

Inoltre, le formule di Werner sono usate in radiotecnica per descrivere la formazione delle bande laterali nei segnali in modulazione di ampiezza.

Le formule inverse delle formule di Werner si chiamano formule di prostaferesi.

È necessario aver presente un importante falso amico nel leggere testi in inglese che l'evoluzione del linguaggio adottato dai matematici anglofoni ha portato a definere queste formule Prosthaphaeresis Formulas[1] (traduzione letterale: Formule di prostaferesi) e a definire Werner Formulas (traduzione letterale: Formule di Werner) quelle che in italiano si indicano con il nome Formule di prostaferesi.

Prima formula di Werner[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Applicando le formule di addizione e sottrazione:

Alternativamente, applicando la prima formula di prostaferesi al secondo termine dell'equazione si ottiene

Da cui, semplificando, si ottiene il primo termine dell'equazione.

Seconda formula di Werner[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Applicando le formule di addizione e sottrazione:

Alternativamente, applicando la terza formula di prostaferesi al secondo termine dell'equazione si ottiene

Da cui, semplificando, si ottiene il primo termine dell'equazione.

Terza formula di Werner[modifica | modifica wikitesto]

Se si ottiene la seguente identità:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Applicando le formule di addizione e sottrazione:

Alternativamente, applicando la quarta formula di prostaferesi al secondo termine dell'equazione si ottiene

Da cui, semplificando e utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene il primo termine dell'equazione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Weisstein, Eric W., Prosthaphaeresis Formulas, in MathWorld, wolfram. URL consultato il 16 luglio 2017.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Fonti[modifica | modifica wikitesto]

  • Formulario, in Formule di Werner, Università di Bologna. URL consultato il 16 luglio 2017.
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