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Le funzioni trigonometriche complesse sono la generalizzazione al campo dei numeri complessi delle normali funzioni trigonometriche definite nel campo dei numeri reali e vengono generalmente costruite introducendo in esse la variabile complessa
z
:=
x
+
i
y
{\displaystyle z:=x+iy}
Dalle formule di Eulero , valide per ogni x:
{
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
e
−
i
x
=
cos
x
−
i
sin
x
{\displaystyle {\begin{cases}e^{ix}=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}=\cos x-i\sin x\end{cases}}}
si ricavano le definizioni di seno e coseno che sono funzioni intere del piano complesso :
{
sin
z
=
e
i
z
−
e
−
i
z
2
i
cos
z
=
e
i
z
+
e
−
i
z
2
{\displaystyle {\begin{cases}\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\end{cases}}}
Diamo alcune proprietà (altre sono come le rispettive proprietà reali) delle funzioni seno e coseno:
sin
2
z
+
cos
2
z
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1}
{
sin
2
z
=
2
sin
z
cos
z
cos
2
z
=
cos
2
z
−
sin
2
z
{\displaystyle {\begin{cases}\sin 2z=2\sin z\cos z\\\cos 2z=\cos ^{2}z-\sin ^{2}z\end{cases}}}
{
sin
(
z
1
+
z
2
)
=
sin
z
1
cos
z
2
+
cos
z
1
sin
z
2
cos
(
z
1
+
z
2
)
=
cos
z
1
cos
z
2
−
sin
z
1
sin
z
2
{\displaystyle {\begin{cases}\sin(z_{1}+z_{2})=\sin z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\sin z_{2}\\\cos(z_{1}+z_{2})=\cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2}\end{cases}}}
2
sin
z
1
cos
z
2
=
sin
(
z
1
+
z
2
)
+
sin
(
z
1
−
z
2
)
{\displaystyle 2\sin z_{1}\cos z_{2}=\sin(z_{1}+z_{2})+\sin(z_{1}-z_{2})}
La tangente e la cotangente complessa sono definite sempre a partire da seno e coseno:
{
tan
z
=
sin
z
cos
z
,
cot
z
=
cos
z
sin
z
sec
z
=
1
cos
z
,
csc
z
=
1
sin
z
{\displaystyle {\begin{cases}\tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}&\,,\,\cot z={\frac {\cos z}{\sin z}}\\\sec z={\frac {1}{\cos z}}&\,,\,\csc z={\frac {1}{\sin z}}\end{cases}}}
Osserviamo che sia la tangente che la secante sono analitiche ovunque eccetto nelle singolarità:
z
=
π
2
+
n
π
{\displaystyle z={\tfrac {\pi }{2}}+n\pi }
cotangente e la cosecante hanno singolarità in
z
=
n
π
{\displaystyle z=n\pi }
{
sinh
z
=
e
z
−
e
−
z
2
cosh
z
=
e
z
+
e
−
z
2
{\displaystyle {\begin{cases}\sinh z={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}\\\cosh z={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}\end{cases}}}
{
tanh
z
=
sinh
z
cosh
z
,
coth
z
=
1
tanh
z
sech
z
=
1
cosh
z
,
csch
z
=
1
sinh
z
{\displaystyle {\begin{cases}\tanh z={\frac {\sinh z}{\cosh z}}&\,,\,\coth z={\frac {1}{\tanh z}}\\\operatorname {sech} z={\frac {1}{\cosh z}}&\,,\,\operatorname {csch} z={\frac {1}{\sinh z}}\end{cases}}}
Il seno e il coseno iperbolico sono funzioni intere di tutto il piano complesso.
Alcune proprietà visto anche il legame con il seno e il coseno:
{
sin
z
=
−
i
sinh
(
i
z
)
,
sinh
z
=
−
i
sin
(
i
z
)
cos
z
=
cosh
(
i
z
)
,
cosh
z
=
cos
(
i
z
)
{\displaystyle {\begin{cases}\sin z=-i\sinh(iz)&\,,\,\sinh z=-i\sin(iz)\\\cos z=\cosh(iz)&\,,\,\cosh z=\cos(iz)\end{cases}}}
−
sinh
2
z
+
cosh
2
z
=
1
{\displaystyle -\sinh ^{2}z+\cosh ^{2}z=1}
{
sinh
(
z
1
+
z
2
)
=
sinh
z
1
cosh
z
2
+
cosh
z
1
sinh
z
2
cosh
(
z
1
+
z
2
)
=
cosh
z
1
cosh
z
2
+
sinh
z
1
sinh
z
2
{\displaystyle {\begin{cases}\sinh(z_{1}+z_{2})=\sinh z_{1}\cosh z_{2}+\cosh z_{1}\sinh z_{2}\\\cosh(z_{1}+z_{2})=\cosh z_{1}\cosh z_{2}+\sinh z_{1}\sinh z_{2}\end{cases}}}
