Secante (trigonometria)

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Grafico della funzione secante

In matematica, la secante di un angolo è una funzione trigonometrica definita come il reciproco del coseno dello stesso angolo, ossia:[1]

Definizione geometrica[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 1 - Geometricamente, la secante può essere vista anche come l'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dell'angolo

Data una circonferenza unitaria di centro , l'angolo al centro tale che , con , individua su questa un punto . La retta tangente alla circonferenza in interseca l'asse nel punto ; si definisce secante di l'ascissa del punto così definito (vedi Fig. 2).

In un triangolo rettangolo la secante di uno dei due angoli acuti corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto adiacente[2]: da questa affermazione emerge che la secante corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dello stesso angolo (vedi Fig. 1); da ciò, per il teorema di Pitagora, si ottengono le formule:

comunque deducibili dalla definizione di secante.[3]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 2 - Relazione tra secante, secante esterna, cosecante e cosecante esterna

Dimostriamo che .

Il triangolo è simile al triangolo (vedi fig.1).

Per il teorema di Talete vale la proporzione:

Ora

Quindi:

da cui

Valori notevoli[modifica | modifica wikitesto]

Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che :[4]

in radianti 0
in gradi 15° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360°

Derivate[modifica | modifica wikitesto]

La derivata prima della secante, e le sue derivate successive, si ottengono ricordando la sua definizione ed applicando la regola di derivazione di una quoziente[5]:

Relazione trigonometrica secante-cosecante[modifica | modifica wikitesto]

Conseguenza della prima relazione fondamentale della trigonometria è la seguente:

per ogni con .

La relazione si ottiene facilmente dividendo la relazione fondamentale per .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.182
  2. ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6. p.182
  3. ^
  4. ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.182
  5. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0. p. V17

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6.
  • Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0.

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