Regola del quoziente

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In analisi matematica, la regola del quoziente è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata del quoziente di due funzioni derivabili.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La derivata del rapporto fra due funzioni è un rapporto avente come numeratore la derivata del numeratore per il denominatore meno la derivata del denominatore per il numeratore, e come denominatore il quadrato del denominatore originario.

D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.

È necessario che g(x), essendo al denominatore, non si annulli mai nell'intervallo o nel punto interessato dal calcolo per non rendere indefinito il risultato.

La regola del quoziente però può anche essere considerata un caso particolare della regola del prodotto - anch'essa utilizzata per la derivazione - con secondo fattore 1/g(x), solo che spesso torna più facile ai fini del calcolo per la maggior complicanza della derivata dell'inversa.

Dimostrazione tramite il rapporto incrementale[modifica | modifica wikitesto]

Applicando la definizione di derivata, come limite del rapporto incrementale:

Si deriva, ipotizzando entrambe le funzioni f(x) e g(x) derivabili in x e g(x) non nulla, che:

Si riduce tutto al minimo comune multiplo:

Ora aggiungiamo e togliamo f(x)g(x):

Raccogliendo f(x) e g(x) e sistemando i numeratori si viene a

Siccome g(x) è, per ipotesi, non nulla e derivabile in x, quindi è qui anche continua:

.

Per la (1), si conclude che:

e quindi cvd.

Dimostrazione tramite la regola del prodotto[modifica | modifica wikitesto]

Applicando la regola del prodotto e la regola della funzione reciproca, si ha:

e si conclude.

Ad esempio:

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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