Regole di derivazione

In matematica, le regole di derivazione e le derivate fondamentali sono regole studiate per evitare di dover calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale di funzioni, e utilizzate al fine di facilitare la derivazione di funzioni di maggiore complessità.

Regole di derivazione

Siano $f(x)$ e $g(x)$ funzioni reali di variabile reale $x$ derivabili, e sia $\mathrm {D}$ l'operazione di derivazione rispetto a $x$:

$\mathrm {D} [f(x)]=f'(x)\qquad \mathrm {D} [g(x)]=g'(x)$

• Regola della somma (linearità):

$\mathrm {D} [\alpha f(x)+\beta g(x)]=\alpha f'(x)+\beta g'(x)\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$

• Regola del prodotto (o di Leibniz):

$\mathrm {D} [{f(x)\cdot g(x)}]=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

• Regola del quoziente:

$\mathrm {D} \!\left[{f(x) \over g(x)}\right]={f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x) \over g(x)^{2}}$

• Regola della funzione reciproca:

$\mathrm {D} \!\left[{1 \over f(x)}\right]=-{f'(x) \over f(x)^{2}}$

• Regola della funzione inversa:

$\mathrm {D} [f^{-1}(x)]={1 \over f'(f^{-1}(x))}$

• Regola della catena:

$\mathrm {D} \left[f\left(g(x)\right)\right]=f'\left(g(x)\right)\cdot g'(x)$

• Regola della potenza:

$\mathrm {D} \left[f(x)^{g(x)}\right]=f(x)^{g(x)}\left[g'(x)\ln(f(x))+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right]$

Derivate fondamentali

Ognuna di queste funzioni, se non altrimenti specificato, è derivabile in tutto il suo campo di esistenza.

Funzioni polinomiali

• $\mathrm {D} (a)=0\,,\,a{\mbox{ costante}}$
• $\mathrm {D} (x)=1$
• $\mathrm {D} (ax)=a\,,\,a{\mbox{ costante}}$
• $\mathrm {D} (x^{2})=2x$
• $\mathrm {D} (x^{3})=3x^{2}$

Dimostrazione

$\mathrm {D} (a)=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{a-a} \over {h}}=0$ $\mathrm {D} (x)=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{(x+h)-x} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{h} \over {h}}=1$ $\mathrm {D} (x^{2})=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{(x+h)^{2}-x^{2}} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2}} \over {h}}=\lim _{h\to 0}(2x+h)=2x$ $\mathrm {D} (x^{3})=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{(x+h)^{3}-x^{3}} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-x^{3}} \over {h}}=\lim _{h\to 0}(3x^{2}+3xh+h^{2})=3x^{2}$

Più in generale si ha:

• $\mathrm {D} (x^{n})=nx^{n-1}\quad \mathrm {con} \ n\in \mathbb {N}$

Dimostrazione

$\mathrm {D} (x^{n})=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{(x+h)^{n}-x^{n}} \over {h}}$ Applicando il teorema binomiale: $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$ e le proprietà dei coefficienti binomiali si ottiene: $\mathrm {D} (x^{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{n}+nx^{n-1}h+{n \choose 2}x^{n-2}h^{2}+{n \choose 3}x^{n-3}h^{3}+\ldots +{n \choose n-2}x^{2}h^{n-2}+nxh^{n-1}+h^{n}-x^{n}}{h}}=$ $=\lim _{h\to 0}{\frac {nx^{n-1}h+{n \choose 2}x^{n-2}h^{2}+{n \choose 3}x^{n-3}h^{3}+\ldots +{n \choose n-2}x^{2}h^{n-2}+nxh^{n-1}+h^{n}}{h}}=$ $=\lim _{h\to 0}\left(nx^{n-1}+{n \choose 2}x^{n-2}h+{n \choose 3}x^{n-3}h^{2}+\ldots +{n \choose n-2}x^{2}h^{n-3}+nxh^{n-2}+h^{n-1}\right)=nx^{n-1}$

Da quest'ultima relazione segue che se $f(x)$ è un polinomio generico di grado $n$, allora $D\left(f(x)\right)$ è in generale un polinomio di grado $n-1$ .

Dimostrazione

Se $f(x)$ è un polinomio generico di grado $n$, allora esso può essere espresso nella forma $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}}\quad \mathrm {con} \;a_{k}\in \mathbb {R} ,\forall k.$ Allora: $\mathrm {D} (f(x))=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{\sum _{k=0}^{n}{a_{k}(x+h)^{k}}-\sum _{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}} \over h}=\lim _{h\to 0}{\sum _{k=0}^{n}{a_{k}\left[(x+h)^{k}-x^{k}\right]} \over h}$ e applicando la linearità del limite si ottiene $\mathrm {D} (f(x))=\sum _{k=0}^{n}\left(\lim _{h\to 0}a_{k}{(x+h)^{k}-x^{k} \over h}\right)=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}\mathrm {D} (x^{k})}=\sum _{k=0}^{n}(a_{k}k)x^{k-1}=a_{1}+a_{2}x+\cdots +(a_{n}n)x^{n-1}$ Quest'ultima relazione, come si può osservare, coincide esattamente con l'espressione di un polinomio di grado $n-1$.

Potenze, radici e valore assoluto

• $\mathrm {D} (x^{\alpha })=\alpha x^{\alpha -1}\quad \mathrm {con} \ \alpha \in \mathbb {R}$
• $\mathrm {D} ({\sqrt[{2}]{x}})={\frac {1}{2{\sqrt[{2}]{x}}}}$
• $\mathrm {D} ({\sqrt[{n}]{x^{m}}})={{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{x^{m-n}}}}\quad {\mbox{se }}x>0$
• $\mathrm {D} (|x|)={\dfrac {|x|}{x}}={\dfrac {x}{|x|}}$

Dimostrazione

Applicando le proprietà dei logaritmi: $\mathrm {D} (x^{\alpha })=\mathrm {D} \left(\mathrm {e} ^{\alpha \ln x}\right)$ applicando la regola di derivazione di una funzione composta: $\mathrm {D} \left(\mathrm {e} ^{\alpha \ln x}\right)=\mathrm {e} ^{\alpha \ln x}\cdot {\frac {\alpha }{x}}=x^{\alpha }\cdot {\frac {\alpha }{x}}=\alpha x^{\alpha -1}$ $\mathrm {D} ({\sqrt[{n}]{x^{m}}})=\mathrm {D} \left(x^{\frac {m}{n}}\right)$ Applicando la regola sopra dimostrata $\ \mathrm {D} (x^{\alpha })=\alpha x^{\alpha -1}\$ si ottiene: $\mathrm {D} ({\sqrt[{n}]{x^{m}}})={\frac {m}{n}}x^{{\frac {m}{n}}-1}={\frac {m}{n}}x^{\frac {m-n}{n}}={\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{x^{m-n}}}$

Funzioni logaritmiche ed esponenziali

• $\mathrm {D} (\log _{b}x)={\frac {\log _{b}\mathrm {e} }{x}}={\frac {1}{x\ln \!b}}$
• $\mathrm {D} (\ln x)={\frac {1}{x}}$

Dimostrazione

$\mathrm {D} (\log _{b}x)=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{\log _{b}(x+h)-\log _{b}(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\cdot \log _{b}{\frac {x+h}{x}}$ Applicando ancora le proprietà dei logaritmi si ottiene: $\mathrm {D} (\log _{b}x)=\lim _{h\to 0}\log _{b}{\left({\frac {x+h}{x}}\right)}^{\frac {1}{h}}=\lim _{h\to 0}\log _{b}{\left(1+{\frac {h}{x}}\right)}^{\frac {1}{h}}$ Applicando il limite notevole $\lim _{z\to 0}{\left(1+\theta z\right)}^{\frac {1}{z}}=\mathrm {e} ^{\theta }$ dove $\theta ={\frac {1}{x}}$ si ottiene: $\mathrm {D} (\log _{b}x)=\log _{b}\mathrm {e} ^{\frac {1}{x}}={\frac {\log _{b}\mathrm {e} }{x}}={\frac {1}{x\ln b}}$ Dalla regola $D(\log _{b}x)={\frac {\log _{b}\mathrm {e} }{x}}$ scaturisce: $\mathrm {D} (\ln x)={\frac {\log _{\mathrm {e} }\mathrm {e} }{x}}={\frac {1}{x}}$

• $\mathrm {D} (e^{x})=\mathrm {e} ^{x}$
• $\mathrm {D} (a^{x})=a^{x}\ln a$
• $\mathrm {D} (x^{x})=x^{x}(1+\ln x)$

Dimostrazione

$\mathrm {D} (\mathrm {e} ^{x})=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathrm {e} ^{x+h}-\mathrm {e} ^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathrm {e} ^{x}\mathrm {e} ^{h}-\mathrm {e} ^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathrm {e} ^{x}(\mathrm {e} ^{h}-1)}{h}}=\mathrm {e} ^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {\mathrm {e} ^{h}-1}{h}}=\mathrm {e} ^{x}$ dal limite notevole  $\lim _{z\to 0}{\frac {k^{z}-1}{z}}=\ln k\,$ $\mathrm {D} (a^{x})=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}(a^{h}-1)}{h}}=a^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=a^{x}\ln a$ dal limite notevole  $\lim _{z\to 0}{\frac {k^{z}-1}{z}}=\ln k\,$ Un altro sistema è il seguente. Applicando le proprietà dei logaritmi: $\mathrm {D} (a^{x})=\mathrm {D} \left(\mathrm {e} ^{x\ln a}\right)$ e applicando la regola di derivazione di una funzione composta: $\mathrm {D} \left(\mathrm {e} ^{x\ln a}\right)=\mathrm {e} ^{x\ln a}\cdot \ln a=a^{x}\ln a$ $\mathrm {D} (\ln(f(x)))={{f'(x)} \over {f(x)}}\Rightarrow f(x)\mathrm {D} (\ln(f(x)))=f'(x)$ e quindi $\mathrm {D} (x^{x})=x^{x}\mathrm {D} (\ln(x^{x}))=x^{x}\left(\ln(x)+x\left({{1} \over {x}}\right)\right)=x^{x}\left(1+\ln(x)\right)$

Dimostrazione

Data la funzione $y=a^{x}$ applicando la regola di derivazione della funzione inversa, in questo caso $x=\log _{a}y$, e si ha: $\mathrm {D} (a^{x})={\frac {1}{\mathrm {D} (\log _{a}y)}}={\frac {1}{{\frac {1}{y}}\log _{a}\mathrm {e} }}=y\ln a=a^{x}\ln a$ Applicando la regola di derivazione $\mathrm {D} (a^{x})=a^{x}\ln a$ scaturisce: $\mathrm {D} (\mathrm {e} ^{x})=\mathrm {e} ^{x}\ln \mathrm {e} =\mathrm {e} ^{x}$

Funzioni goniometriche

• $\mathrm {D} (\sin x)=\cos x$

Dimostrazione

Per prima cosa si scrive il limite del rapporto incrementale, per l'incremento che tende a 0, della funzione: $\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}$ Usando le proprietà trigonometriche di addizione: $\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {-\sin(x)\cdot \left(1-\cos(h)\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}}$ A questo punto, ricordando i limiti notevoli $\lim _{h\to 0}{\frac {1-\cos(h)}{h}}=0,\qquad \lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}=1$ applicando la linearità del limite otteniamo: $\lim _{h\to 0}-\sin(x){\frac {1-\cos(h)}{h}}+\lim _{h\to 0}\cos(x){\frac {\sin(h)}{h}}=-\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1=\cos(x)$

• $\mathrm {D} (\cos x)=-\sin x$

Dimostrazione

Per prima cosa si scrive il limite del rapporto incrementale, per l'incremento che tende a 0, della funzione: $\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos(x)}{h}}$ Adesso sfruttiamo le proprietà trigonometriche di addizione: $\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {-\cos(x)\cdot \left(1-\cos(h)\right)-\sin(x)\sin(h)}{h}}$ A questo punto, ricordando i limiti notevoli $\lim _{h\to 0}{\frac {1-\cos(h)}{h}}=0,\qquad \lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}=1$ applicando la linearità del limite otteniamo: $\lim _{h\to 0}-\cos(x){\frac {1-\cos(h)}{h}}+\lim _{h\to 0}-\sin(x){\frac {\sin(h)}{h}}=-\cos(x)\cdot 0-\sin(x)\cdot 1=-\sin(x)$

• $\mathrm {D} (\tan x)=1+\tan ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}$

Dimostrazione

Per prima cosa si scrive la funzione tangente come rapporto tra il seno ed il coseno: $\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$ Ora è possibile utilizzare la derivata del rapporto di due funzioni: $\mathrm {D} \!\!\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)={\frac {\cos(x)\cos(x)+\sin(x)\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$ A questo punto si può sviluppare il rapporto in due modi: ${\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$ ${\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {\cos ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}+{\frac {\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)$

• $\mathrm {D} (\cot x)=-(1+\cot ^{2}x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$
• $\mathrm {D} (\sec x)=\tan x\sec x$
• $\mathrm {D} (\csc x)=-\cot x\csc x$
• $\mathrm {D} (\arcsin x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Dimostrazione

Le notazioni $\arcsin$ e $\sin ^{-1}$ indicano la stessa funzione. Scrivendo la funzione $\ y=\sin ^{-1}(x)$ e moltiplichiamo da ambo le parti $\cdot \sin$ in modo da ottenere $\sin(y)=x$. Differenziando l'espressione trovata si ottiene: $\cos(y)\cdot y'=1$ di conseguenza si ha che: $\ y'={\frac {1}{\cos(y)}}$. Ricordando che: $\cos(y)={\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}\qquad {\sqrt {1-sin^{2}(y)}}={\sqrt {1-x^{2}}}$ sostituendo nella derivata e si ottiene la formula che si stava cercando: $\ y'={\frac {1}{cos(y)}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

• $\mathrm {D} (\arccos x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Dimostrazione

Le notazioni $\arccos$ e $\cos ^{-1}$ indicano la stessa funzione. Scrivendo la funzione $y=\cos ^{-1}(x)$ e moltiplichiamo da ambo le parti $\cdot \cos$ in modo da ottenere $\cos(y)=x$. Differenziando l'espressione trovata si ottiene: $\ -sin(y)\cdot y'=1$ di conseguenza si ha che: $\ y'=-{\frac {1}{sin(y)}}$. Ricordando che: $\sin(y)={\sqrt {1-cos^{2}(y)}}\qquad {\sqrt {1-cos^{2}(y)}}={\sqrt {1-x^{2}}}$ sostituendo nella derivata e si ottiene la formula che si stava cercando: $\ y'=-{\frac {1}{sin(y)}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

• $\mathrm {D} (\arctan x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$
• $\mathrm {D} (\operatorname {arccot} x)={-1 \over 1+x^{2}}$
• $\mathrm {D} (\operatorname {arcsec} x)={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$
• $\mathrm {D} (\operatorname {arccsc} x)={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

Funzioni iperboliche

• $\mathrm {D} (\sinh x)=\cosh x$
• $\mathrm {D} (\cosh x)=\sinh x$
• $\mathrm {D} (\tanh x)=1-\tanh ^{2}x={1 \over \cosh ^{2}x}$
• $\mathrm {D} ({\mbox{coth}}\,x)=-{\mbox{csch}}^{2}\,x$
• $\mathrm {D} ({\mbox{sech}}\,x)=-\tanh x\;{\mbox{sech}}\,x$
• $\mathrm {D} ({\mbox{csch}}\,x)=-{\mbox{coth}}\,x\;{\mbox{csch}}\,x$
• $\mathrm {D} ({\mbox{settsinh}}\,x)={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$
• $\mathrm {D} ({\mbox{settanh}}\,x)={1 \over 1-x^{2}}$
• $\mathrm {D} ({\mbox{settcoth}}\,x)={1 \over 1-x^{2}}$
• $\mathrm {D} ({\mbox{settsech}}\,x)={-1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• $\mathrm {D} ({\mbox{settcsch}}\,x)={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}$

Derivate di funzioni composte

• $\mathrm {D} (|f(x)|)=f'(x){\dfrac {f(x)}{|f(x)|}}=f'(x){\dfrac {|f(x)|}{f(x)}}$
• $\mathrm {D} ([f(x)]^{n})=n\cdot f(x)^{n-1}\cdot f'(x)$
• $\mathrm {D} (\ln f(x))={f'(x) \over f(x)}$
• $\mathrm {D} (\ln |f(x)|)={f'(x) \over f(x)}$
• $\mathrm {D} (\mathrm {e} ^{f(x)})=\mathrm {e} ^{f(x)}\cdot f'(x)$
• $\mathrm {D} (a^{f(x)})=a^{f(x)}\cdot f'(x)\cdot \ln a$
• $\mathrm {D} (\sin f(x))=\cos f(x)\cdot f'(x)$
• $\mathrm {D} (\cos f(x))=-\sin f(x)\cdot f'(x)$
• $\mathrm {D} (\tan f(x))={f'(x) \over \cos ^{2}f(x)}$
• $D(\arcsin f(x))={f'(x) \over {\sqrt {1-[f(x)]^{2}}}}$
• $D(\arccos f(x))={-f'(x) \over {\sqrt {1-[f(x)]^{2}}}}$
• $D(\arctan f(x))={f'(x) \over 1+[f(x)]^{2}}$
• $D(f(x)^{g(x)})=f(x)^{g(x)}\cdot \left[g'(x)\cdot \ln f(x)+g(x)\cdot {f'(x) \over f(x)}\right]$

Dimostrazione
${f(x)^{g(x)}}={e^{{\ln }{f(x)^{g(x)}}}}={e^{g(x)\cdot {{\ln }f(x)}}}$ e dunque si deriva seguendo la regola di $D({e^{f(x)}})$ e del prodotto

• $D(x^{f(x)})=x^{f(x)}\cdot \left[f'(x)\cdot \ln x+{f(x) \over x}\right]$

Voci correlate

• Metodi di integrazione