Coefficiente binomiale

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In matematica, il coefficiente binomiale (che si legge " sopra ") è un numero intero non negativo definito dalla seguente formula

(dove è il fattoriale di ) e può essere calcolato anche facendo ricorso al triangolo di Tartaglia. Alla voce Combinazione è dimostrato che esso fornisce il numero delle combinazioni semplici di elementi di classe .

Per esempio:

è il numero di combinazioni di elementi presi alla volta.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il coefficiente binomiale ha le seguenti proprietà:

Dimostrazione formale:
Dimostrazione combinatoria: le combinazioni di elementi di lunghezza o sono evidentemente una sola: rispettivamente l'insieme vuoto o l'intero insieme di elementi.
Dimostrazione formale:
Dimostrazione combinatoria: vi sono evidentemente modi per scegliere un elemento tra o per tralasciarne uno.
Dimostrazione formale:
Dimostrazione combinatoria: le scelte di elementi sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi degli elementi tralasciati.
  • , ovvero:
(proprietà che permette di costruire i coefficienti binomiali con il triangolo di Tartaglia)
Dimostrazione formale:
considerando il fatto che
, ed allo stesso modo
si ha
e quindi
ovvero la tesi.
Dimostrazione combinatoria: Per calcolare il numero di combinazioni semplici di elementi di lunghezza , scegliamo uno degli elementi, che chiameremo Pippo, e dividiamo le combinazioni in due classi: quelle che non contengono Pippo e quelle che lo contengono. Le cardinalità delle due classi sono evidentemente date dai due termini del secondo membro della formula che volevamo dimostrare.
Dimostrazione formale:
partendo dal teorema binomiale abbiamo:
ovvero la tesi.
Dimostrazione combinatoria:
è il numero dei sottoinsiemi di un insieme di elementi. Possiamo dividere tali sottoinsiemi in classi, ponendo in ogni classe quelli di una data cardinalità. Poiché i sottoinsiemi di cardinalità sono proprio , si ottiene subito la tesi.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

  • Il teorema binomiale, o binomio di Newton, utilizza il coefficiente binomiale per esprimere lo sviluppo di una potenza -esima di un binomio qualsiasi secondo la seguente formula:
  • Il numero di diagonali di un poligono convesso di lati può essere espresso secondo la seguente formula:
  • Dato un insieme , tale che , si utilizza il coefficiente binomiale per calcolare la cardinalità dell'insieme delle parti di , :

Estensioni[modifica | modifica wikitesto]

Si può estendere il coefficiente binomiale al caso che sia negativo, oppure maggiore di , ponendo:

oppure

Si può anche estendere il coefficiente ai numeri reali. A tale scopo, può convenire iniziare con l'osservazione che il coefficiente binomiale è anche il rapporto tra il numero delle funzioni iniettive da un insieme di cardinalità in uno di cardinalità (ovvero il numero delle disposizioni semplici di oggetti di classe ) ed il numero delle permutazioni di oggetti:

Si può porre:

ad esempio,

Con tale convenzione, si ha:

ad esempio:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Mauro Cerasoli, Franco Eugeni; Marco Protasi, Elementi di matematica discreta, Bologna, Zanichelli, 1988.
  • Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Bologna, Zanichelli, 2003.
  • Sheldon M. Ross, Calcolo delle probabilità, Milano, Apogeo, 2004.
  • Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff, Algebra, Milano, Mursia 1998

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