Distribuzione binomiale

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Distribuzione binomiale
Funzione di distribuzione discreta
Funzione di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri
Supporto
Funzione di densità
Funzione di ripartizione
(funzione Beta incompleta regolarizzata)
Valore atteso
Mediana tra e
(non precisa)
Moda se
Varianza
Indice di asimmetria
Curtosi
Entropia
Funzione generatrice dei momenti
Funzione caratteristica

In teoria della probabilità la distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il numero di successi in un processo di Bernoulli, ovvero la variabile aleatoria che somma variabili aleatorie indipendenti di uguale distribuzione di Bernoulli .

Esempi di casi di distribuzione binomiale sono i risultati di una serie di lanci di una stessa moneta o di una serie di estrazioni da un'urna (con reintroduzione), ognuna delle quali può fornire due soli risultati: il successo con probabilità e il fallimento con probabilità .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione binomiale è caratterizzata da due parametri:[1]

  • : il numero di prove effettuate.
  • : la probabilità di successo della singola prova di Bernoulli (con ).

Per semplicità di notazione viene solitamente utilizzato anche il parametro , che esprime la probabilità di fallimento per una singola prova.

La distribuzione di probabilità è:

cioè ogni successione con successi e insuccessi ha probabilità , mentre il numero di queste successioni, pari al numero di modi (o combinazioni) in cui possono essere disposti i successi negli tentativi, è dato dal coefficiente binomiale .

La formula del binomio di Newton mostra come la somma di tutte le probabilità nella distribuzione sia uguale a :

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Per calcolare la probabilità di ottenere con 5 lanci di un dado (equilibrato a 6 facce) esattamente 3 volte "4", basta considerare i lanci come un processo di Bernoulli.

Ogni singola prova ha probabilità p=1/6 di ottenere "4" (successo) e probabilità q=5/6 di non ottenerlo (insuccesso). Il numero di successi con 5 prove è allora descritto da una variabile aleatoria S5 di legge B(5,1/6).

La probabilità di ottenere esattamente 3 volte "4" con 5 lanci (e 2 volte "non 4") è

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

Siccome la distribuzione binomiale descrive una variabile aleatoria definita come la somma di variabili aleatorie indipendenti di uguale legge di Bernoulli , molte caratteristiche di possono essere ricavate da quelle di :

La moda di si ottiene confrontando le probabilità successive . Se è un numero intero allora e la moda non è unica; se invece non è un intero allora la moda è pari alla sua parte intera .

Non esistono formule precise per la mediana di , che tuttavia dev'essere compresa tra le parti intere inferiore e superiore di , e . Se è un intero allora la mediana è . Se la funzione di ripartizione assume il valore (ad esempio per ed dispari) allora tutti i valori dell'intervallo possono essere presi come mediana.

Altre distribuzioni di probabilità[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione di Bernoulli può essere considerata come un caso particolare di distribuzione binomiale , che descrive un processo di Bernoulli con una sola prova: .

I successi in una sequenza di estrazioni da un'urna, effettuate senza reintroduzione degli estratti, sono descritti da una variabile aleatoria che segue la legge ipergeometrica.

Convergenze[modifica | modifica wikitesto]

Per valori di sufficientemente grandi la legge binomiale è approssimata da altre leggi.

Quando tende a infinito, lasciando fisso , la distribuzione binomiale tende alla distribuzione di Poisson . In statistica quest'approssimazione viene solitamente accettata quando e , oppure quando e .

Per il teorema del limite centrale, quando tende a infinito, lasciando fisso , la distribuzione binomiale tende alla distribuzione normale , di speranza e varianza . In statistica quest'approssimazione viene solitamente accettata quando e .

Più precisamente, il teorema del limite centrale afferma che

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Una generalizzazione della distribuzione binomiale è la legge distribuzione Beta-binomiale , che descrive la somma di variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione di Bernoulli , dove segue la legge Beta . (Al contrario della distribuzione binomiale, le non hanno lo stesso parametro.)

La distribuzione binomiale è una delle quattro distribuzioni di probabilità definite dalla ricorsione di Panjer: .

Statistica[modifica | modifica wikitesto]

Nell'inferenza bayesiana si utilizzano particolari relazioni tra la distribuzione binomiale e altre distribuzioni di probabilità.

Se P è una variabile aleatoria che segue la distribuzione Beta e Sn è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale , allora la probabilità condizionata da Sn=x per P segue la distribuzione Beta . In altri termini, la distribuzione Beta descrive P sia a priori che a posteriori di Sn=x.

In particolare la distribuzione continua uniforme sull'intervallo [0,1] è un caso particolare di distribuzione Beta , quindi la distribuzione per P, a posteriori di Sn=x, segue la legge Beta , che per inciso ha un massimo in x/n.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Ross, p. 146

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Sheldon M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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