In teoria della probabilità la distribuzione di Dirichlet, spesso denotata con
, è una distribuzione di probabilità continua, dipendente da un vettore di numeri reali positivi
, che generalizza la variabile casuale Beta nel caso multivariato. Prende il nome dal matematico tedesco Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Ha come funzione di densità di probabilità

dove
e
sono numeri reali positivi tali che

Il suo valore atteso è

la moda è

mentre la varianza è

Inoltre, per ogni coppia
con
, si ha che la covarianza è

Se
e
, allora
è distribuita come una variabile casuale Beta
La distribuzione di Dirichlet come distribuzione a priori coniugata della distribuzione Multinomiale
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Nell'ambito dell'inferenza bayesiana la variabile casuale di Dirichlet è una distribuzione a priori coniugata della variabile casuale multinomiale in quanto se si applica alla

una distribuzione a priori delle
corrispondente ad una variabile casuale di Dirichlet

allora la distribuzione a posteriori delle
è anch'essa una variabile casuale di Dirichlet, ma con i parametri incrementati dai valori osservati:

Questo teorema può essere visto come una generalizzazione multivariata dell'equivalente teorema univariato, che coinvolge variabile casuale binomiale al posto della multinomiale e la variabile casuale Beta al posto della Dirichlet.
Se si hanno
indipendenti variabili casuali distribuite ciascuna come una variabile casuale Gamma con un parametro comune a tutti e unitario e un parametro individualizzato (si tratta dunque di variabili casuali dette Erlang B, ciascuna con il proprio parametro)

definendo la loro somma come

allora si ha che

- SciencesPo: pacchetto R che contiene funzioni per la simulazione di parametri della distribuzione Dirichlet.