Martingala (matematica)

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Simulazioni di Moto browniano: un classico esempio di martingala a tempo continuo.

Nella teoria della probabilità, una martingala è un processo stocastico  X_t , indicizzato da un parametro crescente  t (spesso interpretabile come tempo), con la seguente proprietà: per ogni  s \leq t , l'attesa di  X_t condizionata rispetto ai valori di  X_r, r \leq s , è uguale ad  X_s . Il più noto esempio di martingala, in cui il parametro  s è continuo, è senz'altro il moto browniano.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Prima di dare una definizione precisa, illustriamo un esempio. Consideriamo un uomo che giochi a Testa o croce con una moneta: ad ogni lancio della moneta guadagna un euro nel caso esca testa, mentre perde un euro in caso esca croce. Sia  X_0, X_1, X_2, \ldots il denaro (espresso in euro) posseduto dall'uomo rispettivamente prima del primo lancio ( X_0 ), dopo il primo lancio ( X_1 ), dopo il secondo lancio ( X_2 ) e così via.

Se la moneta non è truccata (cioè se le probabilità di vincere e perdere ad ogni lancio sono uguali), il valore atteso di X_n, ovvero del denaro posseduto dopo n lanci, sarà semplicemente X_0, ovvero il numero di euro inizialmente posseduti. Ma se veniamo a sapere che dopo m lanci questo signore possiede \bar x €, l'aspettativa più ragionevole riguardo agli euro guadagnati dopo n lanci (con n>m) sarà invece \bar x. Questa è appunto la proprietà di martingala.

Storia[modifica | modifica sorgente]

Paul Pierre Lévy ha proposto la nozione di martingala

In ambito matematico, il termine martingala si riferiva originariamente ad una serie di strategie utilizzate dagli scommettitori francesi nel XVIII secolo. La più semplice di queste strategie veniva utilizzata in giochi simili all'odierno testa o croce: lo scommettitore sceglieva una faccia di una moneta. Questa veniva lanciata, ed il giocatore guadagnava o perdeva una quantità prefissata di denaro a seconda che avesse indovinato o meno la faccia mostrata dalla moneta dopo la caduta. La strategia della martingala consisteva nel raddoppiare la puntata dopo ogni lancio perso. Questa tecnica, che apparentemente conduce ad una vincita finale certa, è stata in verità la causa di forti perdite da parte di scommettitori. Un'analisi più attenta mostra che la posta da mettere in gioco aumenta esponenzialmente con i lanci perdenti, e ci si convince facilmente del fatto che, per assicurarsi la vittoria, bisognerebbe disporre di un capitale infinito da poter scommettere, e bisognerebbe che anche il banco fosse disposto ad accettare poste di qualsiasi taglia. La vincita netta è solamente la posta iniziale. Ironia della sorte, uno dei risultati elementari dimostrati dall'odierna teoria delle martingale è proprio l'inesistenza di un sistema di scommesse vincente.

Il concetto di martingala è stato introdotto nella teoria della probabilità da Paul Pierre Lévy. Gran parte dei risultati avanzati riguardanti le martingale sono stati prodotti da Joseph Leo Doob, con contributi importanti da parte di Kiyoshi Itō sulle applicazioni analitiche. Dagli anni settanta, la teoria delle martingale ha trovato ampie applicazioni in molti settori della matematica pura ed applicata. In particolare, nella Teoria della probabilità, in fisica matematica, ed in finanza matematica. Il successo di tale teoria è tale che essa risulta una delle poche branche della matematica nota anche a studiosi di altre discipline, in particolare da chi si occupa di finanza e tecniche di borsa. Anche grazie ai contributi dati a questa teoria, Lévy, Itō e Doob sono considerati tra i maggiori matematici del XX secolo.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Martingale a tempo discreto[modifica | modifica sorgente]

Una martingala a tempo discreto è un processo stocastico a tempo discreto  X_1,\ldots,X_n,\ldots a valori in \mathbb R tale che


    \mathbf{E} ( \vert X_n \vert )< \infty,

    \mathbf{E} (X_{n+1}|X_1 \dots X_n)=X_n,\quad n\in \mathbb N.

Martingale a tempo continuo[modifica | modifica sorgente]

Una processo stocastico X_t,t\geq 0  è una martingala se


     \mathbf{E} ( \vert X_t \vert )<\infty ,

    \mathbf{E} ( X_{t} | \{X_u\}_{u \leq s} ) = X_s, \quad \forall\ s \leq t,

Più in generale, un processo stocastico Y : T \times \Omega \rightarrow S si dice martingala rispetto ad una filtrazione \mathcal F ed una misura di probabilità \mathbb P se:

  • \mathcal F è una filtrazione dello spazio di probabilità (\Omega, \Sigma, \mathbb P) che stiamo studiando
  • Y è adattato alla filtrazione, ovvero per ogni t \in T la variabile aleatoria Y_t è misurabile secondo \mathcal F_t
  • \mathbf{E}_P ( \vert Y_t \vert )<\infty  \quad \forall t
  • \mathbf{E}_P ( [ Y_t - Y_s ] \chi_F ) = 0 \quad  \forall s, t : s<t, \ \forall F \in \mathcal F_s


Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Daniel Revuz, Marc Yor (1999): Continuous Martingales and Brownian motion, 3rd edition Springer, ISBN 3-540-64325-7

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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