Funzione di ripartizione

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In statistica e teoria della probabilità, la funzione di ripartizione (o funzione cumulativa) è una funzione di variabile reale che racchiude le informazioni su un fenomeno (un insieme di dati, un evento casuale) riguardanti la sua presenza o la sua distribuzione prima o dopo un certo punto.

Nel calcolo delle probabilità[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria della probabilità.

Nel calcolo delle probabilità la funzione di ripartizione, o funzione di probabilità cumulata, di una variabile casuale a valori reali è la funzione che associa a ciascun valore la probabilità dell'evento "la variabile casuale assume valori minori o uguali ad ".

In altre parole, è la funzione con dominio la retta reale e immagine l'intervallo definita da

Una funzione F è una valida funzione di ripartizione se è non decrescente, continua a destra e

Una funzione di ripartizione non è necessariamente continua a sinistra (e dunque continua globalmente): se è una variabile casuale discreta e un punto del suo supporto, allora è una funzione a gradino e dunque

(ponendo senza restrizioni di generalità ) poiché è una costante indipendente da , mentre

dunque essendo si ha che non è continua.

Più in generale, una funzione di ripartizione individua univocamente una intera distribuzione di probabilità, cioè una funzione che ad ogni sottoinsieme misurabile associa la probabilità che cada in [1].

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Si può dimostrare dalla definizione che valgono le seguenti uguaglianze, ponendo per semplicità di notazione :

Se è una variabile casuale assolutamente continua la funzione di ripartizione di può essere espressa come funzione integrale:

ove è detta funzione di densità di . Si può anche considerare la relazione inversa:

Se è una variabile casuale discreta (ossia ammette una collezione numerabile di possibili valori )

dove è detta funzione di probabilità di .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Grafico della funzione di ripartizione relativa alla distribuzione uniforme

Se è la variabile aleatoria risultato del lancio di un dado a sei facce si ha

dove con si indica la parte intera di x.

Se è la variabile casuale uniforme continua in si ha

.

Funzione di sopravvivenza[modifica | modifica wikitesto]

In alcuni modelli è più utile analizzare la probabilità che un certo dato numerico valga più del valore (come nella vita di un organismo, biologico o meccanico): questi casi sono trattati dalla branca chiamata analisi di sopravvivenza. Si definisce allora la funzione di sopravvivenza (dal termine inglese survival) come il complemento della funzione di ripartizione:

Nei casi rispettivamente continuo e discreto, valgono naturalmente delle identità speculari a quelle della ripartizione:

e

Ogni funzione di sopravvivenza è una funzione monotona decrescente, vale a dire per

Il tempo rappresenta l'origine, in genere l'inizio di uno studio o l'inizio del funzionamento di alcuni sistemi.


Variabili aleatorie multivariate[modifica | modifica wikitesto]

Più in generale la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria a valori in è la funzione con dominio e codominio l'intervallo definita da

dove sono le componenti di .

Questa funzione possiede la proprietà di essere continua a destra separatamente per ogni variabile. Valgono inoltre le seguenti formule, derivanti dalla definizione:

  • Per qualsiasi ,
  • è monotona crescente separatamente in ogni variabile, cioè se ,
  • se per semplicità,
  • dove è la funzione di ripartizione della variabile -variata .

Da quest'ultima proprietà viene anche l'uguaglianza

e l'affermazione vale ovviamente anche per ogni permutazione degli indici .

In statistica descrittiva[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Statistica descrittiva.

In statistica la funzione di ripartizione empirica, o funzione di distribuzione cumulata, viene usata per descrivere fenomeni quantitativi o comunque descritti con valori misurati su scale ordinali, intervallari o proporzionali, ma non se misurati con una scala nominale.

La funzione di ripartizione viene indicata solitamente con e rappresenta il numero di osservazioni del fenomeno minori o uguali del valore .

Se sono le osservazioni (ordinate in senso crescente), con frequenze relative la funzione di ripartizione ha espressione analitica

Le sono dette frequenze relative cumulate.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ J. Jacod; P. Protter, Pag. 41

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003
  • (EN) Jean Jacod, Philip Protter, Probability Essentials, Springer, 2000, ISBN 3-540-43871-8.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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