Distribuzione continua uniforme

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Distribuzione continua uniforme su un intervallo
Funzione di densità di probabilità
Densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri
Supporto
Funzione di densità su
Funzione di ripartizione per
Valore atteso
Mediana
Moda
Varianza
Indice di asimmetria
Curtosi
Entropia
Funzione generatrice dei momenti
Funzione caratteristica

In teoria delle probabilità la distribuzione continua uniforme è una distribuzione di probabilità continua che è uniforme su un insieme, ovvero che attribuisce la stessa probabilità a tutti i punti appartenenti ad un dato intervallo [a,b] contenuto nell'insieme.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione continua uniforme su un insieme misurabile S, di misura finita non nulla, è una distribuzione di probabilità che attribuisce a tutti i sottoinsiemi di S con la stessa misura la stessa probabilità di verificarsi.

La sua densità di probabilità è un multiplo della funzione indicatrice dell'insieme S,

dove è la misura dell'insieme S.

In particolare ogni sottoinsieme misurabile A di S ha una probabilità di verificarsi proporzionale alla propria misura:

.

Su un intervallo[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione uniforme continua viene solitamente definita su un intervallo ; in questo caso viene indicata .

La sua densità di probabilità è

su .

Come intervallo , inoltre, viene spesso preso l'intervallo unitario , che può essere sempre ricondotto al caso precedente tramite una trasformazione lineare, ovvero considerando la variabile aleatoria al posto di . In particolare, la variabile aleatoria 1-X segue la stessa distribuzione .

In questo caso la densità di probabilità diventa

su ,

la funzione di ripartizione è

su ,

e la probabilità di un intervallo è pari alla sua lunghezza:

(nel caso generale la probabilità di un intervallo è proporzionale alla sua lunghezza).

Per il calcolo delle probabilità i singoli valori f(0) e f(1) sono ininfluenti: basta che la densità di probabilità resti invariata quasi ovunque. Talvolta vengono posti pari a 0, prendendo la funzione indicatrice dell'intervallo aperto , o a 1/2, prendendo come densità di probabilità la funzione rettangolo (in questo caso la distribuzione è anche chiamata distribuzione rettangolare).

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

Se X è una variabile aleatoria di distribuzione uniforme , allora è una variabile aleatoria di distribuzione uniforme , le cui caratteristiche si ricavano facilmente da quelle di X.

Le due variabili aleatorie hanno

;
;
;
;

Dalla funzione generatrice dei momenti si ricavano (per il più generale Y) i momenti semplici

;

siccome la variabile aleatoria centrata segue una distribuzione uniforme su , si ricavano immediatamente i momenti centrali di Y

In particolare si trovano gli indici di asimmetria e di curtosi

.

Infine, l'entropia di Y è

.

Altre distribuzioni[modifica | modifica wikitesto]

Ogni distribuzione di probabilità univariata (cioè sui numeri reali) è legata alla distribuzione uniforme . Se X segue la distribuzione uniforme su ed F è una qualunque funzione di ripartizione, prendendo la funzione

si può definire una variabile aleatoria

che ha proprio F come funzione di ripartizione.

Ad esempio, segue la distribuzione esponenziale .

In informatica questa proprietà viene chiamata metodo dell'inversione e viene utilizzata per trasformare un generatore "casuale" di campioni per X in un generatore di campioni per Y.

La somma di due variabili aleatorie variabili indipendenti con la medesima distribuzione uniforme segue una distribuzione triangolare simmetrica (distribuzione di Simpson).

Più in generale, la distribuzione di Irwin-Hall descrive la somma di n variabili aleatorie variabili indipendenti con la medesima distribuzione uniforme .

La distribuzione Beta corrisponde alla distribuzione uniforme . Inoltre, se X segue questa distribuzione uniforme, allora segue la distribuzione Beta .

Il parallelo della distribuzione continua uniforme tra le distribuzioni discrete è la distribuzione discreta uniforme, definita su un insieme finito S, che attribuisce ad ogni suo sottoinsieme una probabilità di verificarsi pari alla propria cardinalità. (In altri termini è la stessa definizione, con una diversa misura.)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

(EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione uniforme, in MathWorld, Wolfram Research.

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