Probabilità condizionata

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In teoria della probabilità la probabilità condizionata di un evento A rispetto a un evento B è la probabilità che si verifichi A, sapendo che B è verificato. Questa probabilità, indicata o , esprime una "correzione" delle aspettative per A, dettata dall'osservazione di B.

Poiché nella definizione compare al denominatore, ha senso solo se B ha una probabilità non nulla di verificarsi.
È utile osservare che la notazione con il simbolo "Barra verticale" è comune con la definizione del connettivo logico NAND.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Per esempio, la probabilità di ottenere "4" con il lancio di un dado a sei facce (evento A) ha probabilità P(A)=1/6 di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento B), la probabilità di A diventa

.

Si consideri questo secondo esempio, la probabilità di ottenere "1" con il lancio di un comune dado (evento A) ha probabilità P(A)=1/6 di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento B), la probabilità di A diventa

.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La probabilità di A condizionata da B è

,

dove è la probabilità congiunta dei due eventi, ovvero la probabilità che si verifichino entrambi.

In termini più rigorosi, dato uno spazio misurabile di misura P, ogni evento B eredita una struttura di spazio misurato , restringendo gli insiemi misurabili a quelli contenuti in B, ed induce una nuova misura su , con . Se è uno spazio probabilizzato () e B non è trascurabile (), allora riscalando a si ottiene lo spazio probabilizzato delle probabilità condizionate da B.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La formula della probabilità condizionata permette di descrivere la probabilità congiunta come

Ovvero, la probabilità che si verifichino sia A che B è pari alla probabilità che si verifichi B moltiplicata per la probabilità che si verifichi A supponendo che B sia verificato.

Due eventi A e B sono indipendenti quando vale una delle tre equazioni equivalenti

  • ;
  • ;
  • .

Per trovare la probabilità dell'evento a destra negato si può usare la seguente formula:

.

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

Se A e B sono eventi disgiunti, cioè se , le loro probabilità condizionate sono nulle: sapendo che uno dei due eventi si è verificato, è impossibile che si sia verificato anche l'altro.

Se l'evento A implica l'evento B, cioè se , allora la loro intersezione è A, per cui e:

  • (A implica B);
  • (B è necessario per A).

Nel caso di una misura di probabilità uniforme su uno spazio Ω finito, questa formula per P(A|B) esprime la definizione classica di probabilità come "casi favorevoli (A) su casi possibili (B)".
Invece, per P(B|A) otteniamo il valore 1 che, per un numero finito di valori lo stesso Bayes interpretò in senso lato come la certezza che il tutto sia condizionato dalla parte.

Ulteriori definizioni[modifica | modifica wikitesto]

La speranza condizionata di una variabile aleatoria X ad un evento B è la speranza di X calcolata sulle probabilità (condizionate da B).

La probabilità di un evento A può essere condizionata da una variabile aleatoria discreta X, originando una nuova variabile aleatoria, , che per X=x assume il valore .

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Bayes esprime l'uguaglianza simmetrica del teorema della probabilità composta come

.

Questo teorema è alla base dell'inferenza bayesiana in statistica, dove P è detta "probabilità a priori di B" e PB "probabilità a posteriori di 'B".

Paradossi[modifica | modifica wikitesto]

Molti paradossi sono legati alla probabilità condizionata e derivano sia da un'errata formulazione del problema sia dalla confusione di P(A|B) con P(A) o con P(B|A).

Esempi particolari sono il paradosso delle due buste, il paradosso dei due bambini, il problema di Monty Hall e il paradosso di Simpson.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica