Probabilità condizionata

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In teoria della probabilità la probabilità condizionata di un evento rispetto a un evento è la probabilità che si verifichi sapendo che è verificato. Questa probabilità, indicata o , esprime una "correzione" delle aspettative per dettata dall'osservazione di

Poiché, come si vedrà nella successiva definizione, compare al denominatore, ha senso solo se ha una probabilità non nulla di verificarsi.

È utile osservare che la notazione con il simbolo "barra verticale" è comune con la definizione del connettivo logico NAND.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Per esempio, la probabilità di ottenere "4" con il lancio di un dado a sei facce (evento ) ha probabilità di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento ), la probabilità di diventa

Si consideri questo secondo esempio, la probabilità di ottenere "1" con il lancio di un comune dado (evento ) ha probabilità di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento ), la probabilità di diventa

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La probabilità di condizionata da è

dove è la probabilità congiunta dei due eventi, ovvero la probabilità che si verifichino entrambi.

In termini più rigorosi, dato uno spazio misurabile di misura ogni evento eredita una struttura di spazio misurato , restringendo gli insiemi misurabili a quelli contenuti in ed induce una nuova misura su , con . Se è uno spazio probabilizzato () e non è trascurabile (), allora riscalando a si ottiene lo spazio probabilizzato delle probabilità condizionate da

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La formula della probabilità condizionata permette di descrivere la probabilità congiunta come

Ossia, la probabilità che si verifichino sia sia è uguale alla probabilità che si verifichi moltiplicata per la probabilità che si verifichi supponendo che sia verificato.

Due eventi e sono indipendenti quando vale una delle tre equazioni equivalenti:

Per trovare la probabilità dell'evento a destra negato (anche detto complementare) si può usare la seguente formula:

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

Se e sono eventi disgiunti, cioè se , le loro probabilità condizionate sono nulle: sapendo che uno dei due eventi si è verificato, è impossibile che si sia verificato anche l'altro.

Se l'evento implica l'evento , cioè se , allora la loro intersezione è per cui e:

  • ( implica );
  • ( è necessario per ).

Nel caso di una misura di probabilità uniforme su uno spazio Ω finito, questa formula per esprime la definizione classica di probabilità come "casi favorevoli () su casi possibili ()".

Invece, per otteniamo il valore 1 che, per un numero finito di valori lo stesso Bayes interpretò in senso lato come la certezza che il tutto sia condizionato dalla parte.

Ulteriori definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Il valore atteso condizionato di una variabile aleatoria ad un evento è il valore atteso di calcolato sulle probabilità (cioè condizionate da ).

La probabilità di un evento può essere condizionata da una variabile aleatoria discreta originando una nuova variabile aleatoria, , che per assume il valore .

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Bayes esprime l'uguaglianza simmetrica del teorema della probabilità composta come

Questo teorema è alla base dell'inferenza bayesiana in statistica, dove è detta "probabilità a priori di " e "probabilità a posteriori di ".

Paradossi[modifica | modifica wikitesto]

Molti paradossi sono legati alla probabilità condizionata e derivano sia da un'errata formulazione del problema sia dalla confusione di con o con

Esempi particolari sono il paradosso delle due buste, il paradosso dei due bambini, il problema di Monty Hall e il paradosso di Simpson.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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