Variabile casuale

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In matematica, e in particolare in teoria della probabilità, una variabile casuale (dall'inglese random variable, in italiano variabile aleatoria o variabile stocastica) è una variabile che può assumere valori diversi in dipendenza da qualche fenomeno aleatorio - è una legge che informa sui risultati di un esperimento prima che l'esperimento sia realizzato. Ad esempio, il risultato del lancio di un dado a sei facce può essere matematicamente modellato come una variabile casuale che può assumere uno dei sei possibili valori  1, 2, 3, 4, 5, 6.

Il termine aleatorio deriva da alea ed esprime il concetto di rischio calcolato, non casuale. La denominazione alternativa stocastico è stata introdotta da Bruno De Finetti[1]. Il termine casuale è una traduzione diretta dall'inglese di random.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Più formalmente, dato uno spazio di probabilità (\Omega,\mathcal{F},\nu) (dove {\Omega} è un insieme detto spazio campionario o insieme degli eventi, \mathcal{F} è una sigma-algebra su {\Omega} e \nu è una misura di probabilità) e dato uno spazio misurabile (E,\mathcal{E}), una (E,\mathcal{E})-variabile aleatoria è una funzione misurabile X:\Omega \to E dallo spazio campionario ad E.

In questa definizione si intende che una funzione X è misurabile se per ogni A\in\mathcal{E} si ha che X^{-1}(A)\in \mathcal{F}. Questa definizione di misurabilità è una generalizzazione di quella definita da Lindgren (1976): una funzione X definita sullo spazio campionario {\Omega} si dice misurabile rispetto al campo di Borel  \mathcal{B} se e solo se l'evento  \{\omega\in \Omega : X(\omega) \leq \lambda \} appartiene a  \mathcal{B} per ogni {\lambda}.

Se E è uno spazio topologico e \mathcal{E} è la sigma-algebra di Borel allora X è detta anche E-variabile aleatoria. Inoltre se E=\mathbb{R}^n allora X è detta semplicemente variabile aleatoria.

In altre parole una variabile aleatoria X è un modo per indurre una misura di probabilità sullo spazio misurabile di arrivo E a partire dalla misura di probabilità definita sull'insieme degli eventi \Omega.

  • Le variabili casuali a una dimensione (cioè a valori in \R) si dicono semplici o univariate.
  • Le variabili casuali a più dimensioni si dicono multiple o multivariate (doppie, triple, k-uple).

Variabili casuali che dipendono da un parametro t (dove t sta solitamente per tempo) vengono considerate processi stocastici.

Distribuzione di probabilità[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Misura di probabilità.

La misura di probabilità indotta sullo spazio misurabile di arrivo (E,\mathcal{E}) da una variabile aleatoria X, a partire dalla misura di probabilità \nu su (\Omega,\mathcal{F}), è detta la distribuzione, o legge di probabilità, di X, è indicata con P_X ed è definita nel seguente modo

 P_X(A) := \nu (X^{-1}(A)),

per ogni A\in\mathcal{E}. Essa è ben definita proprio perché X^{-1}(A)\in \mathcal{F} per ogni A\in\mathcal{E}. Quando la variabile aleatoria è chiara dal contesto spesso si omette il pedice X. Per brevità, invece di scrivere \nu(X^{-1}(A)) o \nu(\{\omega\in\Omega:X(\omega)=x\text{ per ogni } x\in A\}) spesso si usa la notazione

 P_X(A) = P(x \in A).

Per variabili aleatorie a valori reali, la legge di probabilità della variabile casuale X è individuata univocamente dalla sua funzione di ripartizione, definita come F(x)= P(X \le \ x). Inoltre:

  • se la variabile casuale X è discreta, cioè l'insieme dei possibili valori (il rango o supporto di X) è finito o numerabile, è definita anche la funzione di massa (o funzione massa di probabilità o densità discreta), ossia la funzione di probabilità discreta
p(x)=P(X=x)
 P(X\in A)=\int_A f(x)dx

Descrivere in termini probabilistici un fenomeno aleatorio nel tempo, cioè un fenomeno che sia caratterizzabile da una variabile aleatoria, vuol dire descriverlo in termini di distribuzione di probabilità e dei suoi parametri, come il valore atteso e la varianza.

Storia[modifica | modifica sorgente]

Ancorché non formalizzato, il concetto della distribuzione statistica attorno ad una media era noto fin dall'antichità. Leggiamo infatti nel Fedone di Platone:

«E non è ingiusto, questo? Non è forse vero che chi si comporta così, evidentemente vive tra gli uomini senza averne nessuna esperienza? Se, infatti, li conoscesse appena, saprebbe che son pochi quelli veramente buoni o completamente malvagi e che per la maggior parte, invece, sono dei mediocri.»
«In che senso?» feci.
«È lo stesso delle cose molto piccole e molto grandi. Credi forse che sia tanto facile trovare un uomo o un cane o un altro essere qualunque molto grande o molto piccolo o, che so io, uno molto veloce o molto lento o molto brutto o molto bello o tutto bianco o tutto nero? Non ti sei mai accorto che in tutte le cose gli estremi sono rari mentre gli aspetti intermedi sono frequenti, anzi numerosi?»

(Platone, Fedone, XXXIX)

Alcune variabili casuali utilizzate in statistica[modifica | modifica sorgente]

Le variabili casuali si dividono principalmente in due grandi classi, discrete e continue (o assolutamente continue): Esempi del primi tipo:

Esempi del secondo tipo:

Tali classi non sono però esaustive della famiglia delle variabili casuali; esiste anche una terza classe, delle variabili casuali singolari o continue singolari, come la variabile casuale di Cantor.

Il teorema di rappresentazione di Lebesgue ci assicura che ogni funzione di ripartizione (e dunque ogni variabile casuale) è rappresentabile come combinazione convessa di una funzione di ripartizione discreta, una continua e una singolare. Variabili casuali che non appartengono a nessuna delle tre classi vengono dette miste.

Si può comunque dimostrare che le classi delle variabili casuali discrete e delle variabili casuali continue sono dense nella classe di tutte le variabili casuali rispetto alla convergenza in distribuzione, cioè per ogni variabile casuale esiste una successione di v.c. discrete (rispettivamente continue) che converge in distribuzione alla variabile data.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ DELI, Dizionario etimologico della lingua italiana, Zanichelli, 2009.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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