Insieme numerabile

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In matematica, e più in particolare nella teoria degli insiemi, un insieme viene detto numerabile se i suoi elementi sono in numero finito oppure se possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.

Se un insieme numerabile possiede un numero infinito di elementi, viene detto infinito numerabile, e dato che può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, si può dire che un insieme è infinito numerabile se ha la cardinalità di . La cardinalità degli insiemi infinito numerabili viene usualmente denotata con il simbolo .

Si può dimostrare che ogni sottoinsieme infinito di un insieme numerabile è anch'esso numerabile, e che ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme numerabile.

Esempi di insiemi numerabili sono l'insieme dei numeri interi e quello dei numeri razionali. Il più semplice esempio di insieme non numerabile è dato dall'insieme dei numeri reali la cui non numerabilità è stata dimostrata per la prima volta da Cantor tramite il suo argomento diagonale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un insieme è detto numerabile se esiste una funzione iniettiva

da all'insieme dei numeri naturali [1]

Se è anche una funzione suriettiva (quindi è biunivoca), allora è chiamato insieme infinito numerabile.

Questa terminologia non è universale: qualche autore definisce un insieme numerabile in modo da non includere gli insiemi finiti, definendo quindi unicamente la corrispondenza con una funzione biunivoca (qui considerato come un caso speciale e chiamato infinito numerabile).

Altre definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Possono essere date delle definizioni alternative ma equivalenti di insieme numerabile, in termini di funzioni biettive o suriettive, grazie ad alcuni teoremi. Una dimostrazione di questi può essere trovata nei testi di Lang.[2]

Si possono riassumere i vari teoremi che dimostrano l'equivalenza delle definizioni alternative in uno solo. Sia un insieme. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

  1. è numerabile, cioè esiste una funzione iniettiva
  2. O è l'insieme vuoto oppure esiste una funzione suriettiva
  3. O è finito oppure esiste una biiezione

L'insieme dei numeri razionali[modifica | modifica wikitesto]

Per dimostrare che l'insieme dei numeri razionali è numerabile (ci limitiamo ai razionali positivi, sebbene la generalizzazione sia banale), osserviamo che tutti i razionali positivi si possono scrivere nella forma con e interi positivi. Possiamo creare la seguente tabella delle frazioni :

Per costruire una funzione biunivoca con i numeri naturali si può procedere per diagonali nel seguente modo:

Ottenendo quindi la seguente lista:

Se da questa lista cancelliamo le frazioni che non sono ridotte ai minimi termini ci rimane la seguente successione:

che contiene esattamente tutti i numeri razionali. Questa sequenza tuttavia non rispetta l'ordine dei numeri razionali (ovvero non è detto che, tra due numeri che si presentano consecutivamente in questa lista, il secondo sia il più grande); anzi, è impossibile costruire una lista completa dei numeri razionali che ne rispetti l'ordine.

Prodotto cartesiano di insiemi numerabili[modifica | modifica wikitesto]

Con la stessa tecnica utilizzata per l'insieme dei numeri razionali, si può dimostrare che se e sono due insiemi numerabili anche il prodotto cartesiano è un insieme numerabile e più in generale il prodotto cartesiano di un numero finito di insiemi numerabili è anch'esso un insieme numerabile.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dato che è un insieme numerabile può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali, e quindi gli elementi di possono essere indicizzati nel seguente modo:

e lo stesso vale per l'insieme :

Si ricorda che il prodotto cartesiano è l'insieme formato da tutti gli elementi del tipo con appartenente ad e appartenente a . Si può quindi disporre gli elementi di in un modo simile a quello utilizzato per gli elementi di :

In questo modo abbiamo disposto in una tabella tutti gli elementi di e procedendo per diagonali come nel caso dei numeri razionali possiamo creare la seguente successione:

che è ovviamente un'applicazione biunivoca tra l'insieme e .

Ora siano insiemi numerabili, per quanto detto sopra, abbiamo quindi che è un insieme numerabile, e quindi anche l'insieme

è numerabile e, in generale, ripetendo volte il ragionamento abbiamo che l'insieme

è numerabile e quindi il prodotto cartesiano di un numero finito di insiemi numerabili è un insieme numerabile.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Dal momento che c'è una ovvia biezione tra e , non c'è alcuna differenza se si considera 0 un numero naturale o meno. In ogni caso questo articolo segue l'ISO 31-11 e la convenzione standard in logica matematica, secondo la quale 0 è un numero naturale.
  2. ^ Vedere Lang 1993, §2 of Chapter I.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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