Funzione suriettiva

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Un esempio di funzione suriettiva

In matematica, una funzione si dice suriettiva (o surgettiva, o una suriezione) quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. In tal caso si ha che l'immagine coincide con il codominio.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione è detta suriettiva se .

La composta di due funzioni suriettive è a sua volta suriettiva; ma se è suriettiva, possiamo concludere solo che è suriettiva

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Per ogni insieme X, la funzione identità idX su X è suriettiva.
  • La funzione fR → R definita da f(x) = 2x + 1 è suriettiva, perché per ogni numero reale y si ha f(x) = y dove x è (y - 1)/2.
  • La funzione logaritmo naturale ln: R+ → R è suriettiva.
  • Sia la parabola definita in maniera seguente: ; questa funzione non è suriettiva in quanto l'insieme delle immagini è costituito da tutti i numeri reali non negativi. Per rendere suriettiva questa funzione è sufficiente effettuare questa restrizione: , ovvero considerare un codominio diverso.

Graficamente la suriettività può essere vista in questo modo: se abbiamo una funzione reale di una variabile reale che è suriettiva allora tracciando sul piano cartesiano una qualsiasi retta parallela all'asse di equazione con scelto nel codominio della funzione, allora questa retta orizzontale intersecherà il grafico della funzione almeno una volta.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Una funzione fX → Y è suriettiva se e solo se esiste una funzione gY → X tale che f o g è la funzione identità su Y. (Tale proposizione è equivalente all'assioma della scelta.)
  • Se f e g sono entrambe suriettive, allora f o g è suriettiva.
  • Se f o g è suriettiva, allora f è suriettiva (ma g può non esserlo).
  • fX → Y è suriettiva se e solo se, per ogni coppia di funzioni g,h:Y → Z, ogni volta che g o f = h o f, allora g = h. In altri termini, le funzioni suriettive sono esattamente gli epimorfismi nella categoria Ins di tutti gli insiemi.
  • Se fX → Y è suriettiva e B è un sottoinsieme di Y, allora f(f −1(B)) = B. Ne consegue che B può essere ricostruito dalla sua controimmagine f −1(B).
  • Per ogni funzione hX → Z esistono una suriezione f e una funzione iniettiva g tale che h può essere decomposta come h = g o f. Tale decomposizione è unica a meno di un isomorfismo, e f può essere vista come una funzione avente gli stessi valori di h ma il cui codominio è ristretto all'insieme immagine h(W) di h, che è un sottoinsime del codominio Z di h.
  • Aggregando insieme tutte le controimmagini di una prefissata immagine, ogni funzione suriettiva induce una funzione biunivoca definita sul quoziente del suo dominio. In particolare, ogni funzione suriettiva f : AB può essere fattorizzata in una proiezione seguita da una biiezione nel seguente modo. Sia A/~ l'insieme delle classi di equivalenza di A rispetto alla seguente relazione d'equivalenza: x ~ y se e solo se f(x) = f(y). Sia P(~) : AA/~ la proiezione che associa ogni x in A alla sua classe d'equivalenza [x]~, e sia fP : A/~ → B la funzione ben definita data da fP([x]~) = f(x). Allora f = fP o P(~).
  • Se fX → Y è suriettiva e X,Y sono insiemi finiti, allora X ammette almeno lo stesso numero di elementi di Y.
  • Se X e Y sono finiti con lo stesso numero di elementi, allora f : X → Y è suriettiva se e solo se f è iniettiva.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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