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Controimmagine

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La controimmagine di un insieme U è il sottoinsieme dei punti di X che vengono associati a punti di U da

In matematica, la controimmagine di un sottoinsieme del codominio di una funzione, anche detta immagine inversa, fibra, antiimmagine, retroimmagine o preimmagine, è l'insieme degli elementi del dominio che la funzione associa a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del dominio della funzione.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione f : AB, la controimmagine di un insieme B1B tramite f è un sottoinsieme di , indicato con [1] tale che appartiene a se e solo se appartiene a . In modo equivalente:

Talvolta si considera il seguente insieme, chiamato fibra di b, la cui notazione è, invero, leggermente impropria:

Tali insiemi, che dovrebbero essere più propriamente indicati , sono di particolare importanza quando le funzioni coinvolte sono funzioni reali; in questo caso vengono anche detti insiemi di livello o curve di livello. In topologia, invece, si chiamano fibre.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Considerata una funzione f : AB, valgono le seguenti proprietà:

  • Se , allora

In B2 potrebbe esserci un elemento b che appartiene all'immagine di f ma non a B1.

  • La controimmagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due controimmagini. In simboli:
    • In generale:
  • La controimmagine dell'intersezione di due insiemi è l'intersezione delle due controimmagini. In simboli: [2]
    • In generale:
  • La controimmagine della differenza di due insiemi è la differenza delle due controimmagini. In simboli:
  • Per ogni sottoinsieme del dominio, allora e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione f è iniettiva.

Potrebbero esserci elementi del dominio che non stanno in A1 ma che hanno la stessa immagine di un elemento in A1. Ovviamente se f è iniettiva questo non può succedere.

  • Per ogni sottoinsieme del codominio, allora e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione f è suriettiva.

Potrebbero esserci elementi in B1 che non appartengono all'immagine di f. Se però f è suriettiva questo non accade.

  • Se   e    allora

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Sia tale che . Allora

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ L'uso di tale scrittura comporta un lieve abuso di notazione, in quanto è la stessa utilizzata per la funzione inversa, che agisce su elementi e non su insiemi.
  2. ^ Questa proprietà e la precedente caratterizzano come un omomorfismo di reticoli.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Marco Abate e Chiara de Fabritiis. Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894.
  • Giulio Campanella. Appunti di algebra. Roma, Nuova Cultura, 2005. ISBN 8889362227.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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