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Controimmagine

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La controimmagine f^{-1}(U) di un insieme U è il sottoinsieme dei punti di X che vengono associati a punti di U da f

In matematica, la controimmagine di un sottoinsieme del codominio di una funzione, anche detta immagine inversa, fibra, antiimmagine o preimmagine, è l'insieme degli elementi del dominio che la funzione associa a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del dominio della funzione.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione f : AB, la controimmagine di un insieme B1B tramite f è un sottoinsieme di A, indicato con f^{-1}(B_1)[1] tale che a appartiene a f^{-1}(B_1) se e solo se f(a) appartiene a B_1. In modo equivalente:

f^{-1}(B_1):=\left\{a \in A \left| \right. f(a) \in B_1\right\} \subseteq A.

Talvolta si considera il seguente insieme, chiamato fibra di b, la cui notazione è, invero, leggermente impropria:

f^{-1}(b):=\left\{a \in A \left| \right. f(a) = b\right\} \subseteq A.

Tali insiemi, che dovrebbero essere più propriamente indicati f^{-1}(\{b\}), sono di particolare importanza quando le funzioni coinvolte sono funzioni reali; in questo caso vengono anche detti insiemi di livello o curve di livello. In topologia, invece, si chiamano fibre.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Considerata una funzione f : AB, valgono le seguenti proprietà:

  • f^{-1}\left(\mathrm{Im}\, f\right) = f^{-1}\big(f(A)\big) = A.
  • Se B_1 \subseteq B_2 \subseteq B, allora f^{-1}(B_1) \subseteq f^{-1}(B_2) \subseteq A.

In B2 potrebbe esserci un elemento b che appartiene all'immagine di f ma non a B1.

  • La controimmagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due controimmagini. In simboli: f^{-1}(B_1 \cup B_2)=f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)\,\!.
    • In generale:  f^{-1}\left(\bigcup_i B_i \right) = \bigcup_i f^{-1}(B_i)\,\!.
  • La controimmagine dell'intersezione di due insiemi è l'intersezione delle due controimmagini. In simboli: f^{-1}(B_1 \cap B_2)=f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2).[2]
    • In generale:  f^{-1}\left(\bigcap_i B_i \right) = \bigcap_i f^{-1}(B_i)\,\!.
  • La controimmagine della differenza di due insiemi è la differenza delle due controimmagini. In simboli: f^{-1}\left(B_1 \setminus B_2 \right) = f^{-1}(B_1) \setminus f^{-1}(B_2).

Potrebbero esserci elementi del dominio che non stanno in A1 ma che hanno la stessa immagine di un elemento in A1. Ovviamente se f è iniettiva questo non può succedere.

  • Per ogni B_1 \subseteq B sottoinsieme del codominio, allora f\big(f^{-1}(B_1)\big) \subseteq B_1 e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione f è suriettiva.

Potrebbero esserci elementi in B1 che non appartengono all'immagine di f. Se però f è suriettiva questo non accade.

  • Se g: B \to C  e  C_1 \subseteq C\,\!,  allora \left(g \circ f\right)^{-1}(C_1) = f^{-1}\left(g^{-1}(C_1)\right)\,\!.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Sia f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che x \mapsto x^2. Allora f^{-1}([1,4]) = [-2,-1] \cup [1,2]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ L'uso di tale scrittura comporta un lieve abuso di notazione, in quanto è la stessa utilizzata per la funzione inversa, che agisce su elementi e non su insiemi.
  2. ^ Questa proprietà e la precedente caratterizzano f^{-1} come un omomorfismo di reticoli.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Marco Abate e Chiara de Fabritiis. Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894.
  • Giulio Campanella. Appunti di algebra. Roma, Nuova Cultura, 2005. ISBN 8889362227.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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