Controimmagine

La controimmagine $f^{-1}(U)$ di un insieme U è il sottoinsieme dei punti di X che vengono associati a punti di U da $f$

In matematica, la controimmagine di un sottoinsieme del codominio di una funzione, anche detta immagine inversa, fibra, antiimmagine, retroimmagine o preimmagine, è l'insieme degli elementi del dominio che la funzione associa a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del dominio della funzione.

Definizione

Data una funzione f : A → B, la controimmagine di un insieme B₁ ⊆ B tramite f è un sottoinsieme di $A$, indicato con $f^{-1}(B_{1})$ tale che $a$ appartiene a $f^{-1}(B_{1})$ se e solo se $f(a)$ appartiene a $B_{1}$. In modo equivalente:

$f^{-1}(B_{1}):=\left\{a\in A\left|\right.f(a)\in B_{1}\right\}\subseteq A.$

Talvolta si considera il seguente insieme, chiamato fibra di b, la cui notazione è, invero, leggermente impropria:

$f^{-1}(b):=\left\{a\in A\left|\right.f(a)=b\right\}\subseteq A.$

Tali insiemi, che dovrebbero essere più propriamente indicati $f^{-1}(\{b\})$, sono di particolare importanza quando le funzioni coinvolte sono funzioni reali; in questo caso vengono anche detti insiemi di livello o curve di livello. In topologia, invece, si chiamano fibre.

Proprietà

Considerata una funzione f : A → B, valgono le seguenti proprietà:

• $f^{-1}\left(\mathrm {Im} \,f\right)=f^{-1}{\big (}f(A){\big )}=A.$

• Se $B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq B$, allora $f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})\subseteq A.$

In B₂ potrebbe esserci un elemento b che appartiene all'immagine di f ma non a B₁.

• La controimmagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due controimmagini. In simboli: $f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})\,\!.$
  • In generale: $f^{-1}\left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\bigcup _{i}f^{-1}(B_{i})\,\!.$

• La controimmagine dell'intersezione di due insiemi è l'intersezione delle due controimmagini. In simboli: $f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2}).$
  • In generale: $f^{-1}\left(\bigcap _{i}B_{i}\right)=\bigcap _{i}f^{-1}(B_{i})\,\!.$

• La controimmagine della differenza di due insiemi è la differenza delle due controimmagini. In simboli: $f^{-1}\left(B_{1}\setminus B_{2}\right)=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2}).$

• Per ogni $A_{1}\subseteq A$ sottoinsieme del dominio, allora $A_{1}\subseteq f^{-1}{\big (}f(A_{1}){\big )}$ e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione f è iniettiva.

Potrebbero esserci elementi del dominio che non stanno in A₁ ma che hanno la stessa immagine di un elemento in A₁. Ovviamente se f è iniettiva questo non può succedere.

• Per ogni $B_{1}\subseteq B$ sottoinsieme del codominio, allora $f{\big (}f^{-1}(B_{1}){\big )}\subseteq B_{1}$ e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione f è suriettiva.

Potrebbero esserci elementi in B₁ che non appartengono all'immagine di f. Se però f è suriettiva questo non accade.

• Se $g:B\to C$  e  $C_{1}\subseteq C\,\!,$  allora $\left(g\circ f\right)^{-1}(C_{1})=f^{-1}\left(g^{-1}(C_{1})\right)\,\!.$

Esempi

Sia $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ tale che $x\mapsto x^{2}$. Allora $f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup [1,2]$

Bibliografia

• Marco Abate e Chiara de Fabritiis. Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894.
• Giulio Campanella. Appunti di algebra. Roma, Nuova Cultura, 2005. ISBN 8889362227.

Voci correlate

• Immagine (matematica)
• Funzione composta
• Funzione inversa

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Controimmagine, su MathWorld, Wolfram Research.