Discussione:Controimmagine

Della serie non tutti gli elementi del dominio vengono utilizzati e quindi gli elementi utilizzati formano un insieme chiamato controimmagine?

In termini assoluti, dire che: "non tutti gli elementi del dominio vengono utilizzati" è scorretto, basta ricordarsi la definizione di funzione per capirlo. In realtà, assegnata una funzione f : A → B, si considera un sottoinsieme del codominio B, chiamiamolo B₁, dal quale si costruisce un sottoinsieme del dominio A in modo che valga la proprietà che l'immagine di tutti i suoi elementi appartenga a B₁. Tale sottoinsieme del dominio, così costruito, si chiama controimmagine di B₁ tramite f e lo si denota usualmente con la scrittura $f^{-1}(B_{1})$. 151.56.70.23 18:46, 6 gen 2008 (CET)

Trattandosi di proprietà molto semplici, quasi ovvie, non credo sia necessaria una dimostrazione. I commenti che ho aggiunto sotto ad alcune proprietà dovrebbero bastare.

Io penso che, in matematica, nulla debba trattarsi come ovvio. L'ovvietà è qualcosa di soggettivo; in ogni modo, non è definita matematicamente. Per essere rigorosi, quindi, ci vuole una dimostrazione.

Proprietà

• $f^{-1}\left(\mathrm {Im} \,f\right)=f^{-1}{\big (}f(A){\big )}=A.$

Non è necessario che f sia iniettiva, né che sia suriettiva. Infatti, si considerino, ad esempio, gli insiemi A={1,2}, B={3,4} e la funzione f : A -> B definita dalle uguaglianze successive: f(1)=f(2)=3. Tale funziona non risulta né iniettiva né suriettiva: infatti, 4 non è l'immagine di alcun elemento di A (quindi non è suriettiva), mentre 1 e 2 sono la controimmagine di 3 (quindi non è iniettiva). Pertanto, f(A)={3} e f⁻¹(f(A))={1,2}=A. 79.26.94.214 (msg) 20:25, 28 dic 2010 (CET)