Omomorfismo

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In algebra astratta, un omomorfismo è un'applicazione tra due strutture algebriche dello stesso tipo che conserva le operazioni in esse definite. Questo oggetto, calato nel contesto più astratto della teoria delle categorie, prende il nome di morfismo.

Ad esempio, considerando insiemi con una singola operazione binaria (un magma), la funzione \varphi :\ A \ \to \ B è un omomorfismo se vale

\varphi \left( u * v \right) = \varphi \left( u \right) \# \varphi \left( v \right)

per ogni coppia u, v di elementi di A, dove * \!\ e \# sono le operazioni binarie di A e B rispettivamente.

Ogni tipo di struttura algebrica ha i suoi specifici omomorfismi:

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una definizione rigorosa generale di omomorfismo può essere data nel modo seguente:

Siano A e B due strutture algebriche dello stesso tipo. Una funzione \phi : A \to B è un omomorfismo se, per ogni operazione f e B (su n elementi) delle strutture e per ogni n-upla x_1,\dots,x_n di A si ha:

\phi(f_A(x_1,\dots,x_n)) = f_B(\phi(x_1),\dots,\phi(x_n))

dove f_A e f_B rappresentano l'operazione f nelle strutture A e B rispettivamente.

Classificazione[modifica | modifica sorgente]

In algebra astratta:

Se in particolare A e B coincidono:

Notare che dei concetti di monomorfismo e epimorfismo, in teoria delle categorie, vengono date delle definizioni più deboli.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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