Omomorfismo di anelli

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In algebra, un omomorfismo di anelli è una funzione fra due anelli che conserva le due operazioni di addizione e moltiplicazione.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due anelli. Una funzione è un omomorfismo se, per ogni ,

e
.

Di conseguenza, è un omomorfismo di anelli se e solo se è un omomorfismo tra i gruppi e e tra i semigruppi e .

Se è una funzione biunivoca, allora la sua inversa è anch'essa un omomorfismo di anelli. In tal caso, è detto isomorfismo di anelli.

La composizione di due omomorfismi fra anelli è un omomorfismo fra anelli. La classe di tutti gli anelli con i loro omomorfismi forma quindi una categoria.

Omomorfismi unitari[modifica | modifica wikitesto]

Se i due anelli sono unitari, e l'immagine dell'unità di è l'unità di , allora l'omomorfismo è detto unitario. Spesso, in contesti in cui tutti gli anelli considerati sono unitari (come ad esempio nella gran parte dell'algebra commutativa) vengono considerati solo gli omomorfismi unitari.

In questo caso, induce una mappa tra gli elementi invertibili di e gli elementi invertibili di , che risulta essere un omomorfismo di gruppi.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Esempi banali di omomorfismi sono l'identità , l'inclusione di anelli (dove è un sottoanello di ) e l'omomorfismo nullo che manda ogni elemento di nello zero di . Mentre l'identità è sempre un omomorfismo unitario e l'omomorfismo nullo non lo è mai, un'inclusione può non essere unitaria anche se entrambi gli anelli possiedono unità: ad esempio, se è un anello, il prodotto diretto di con sé stesso (ovvero il prodotto cartesiano dotato delle operazioni termine a termine) allora l'inclusione tale che è un omomorfismo, ma non è un omomorfismo unitario.

Un altro esempio di omomorfismo è la funzione , definita come (dove è l'anello delle classi di resto modulo ). Viceversa, l'unico omomorfismo da a è l'omomorfismo nullo.

Dato un anello commutativo , e un elemento , la funzione che associa ad ogni polinomio di la sua valutazione è un omomorfismo da ad , detto omomorfismo di valutazione. Esso è usato, ad esempio, nella teoria di Galois e nello studio dei polinomi a valori interi.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Il nucleo di ,
è un ideale bilatero di . Viceversa, ogni ideale bilatero di è il nucleo di un omomorfismo di anelli. Al contrario, gli ideali destri ma non sinistri (o viceversa) non sono nuclei di alcun omomorfismo. Se è commutativo e è un dominio d'integrità, allora il nucleo è un ideale primo di .
  • L'immagine di è un sottoanello di .
  • Se è un corpo (ad esempio, se è un campo) ed è non nullo, allora è iniettivo. Questo segue dal fatto che i corpi non hanno ideali bilateri non banali.
  • Per ogni anello unitario , esiste un solo omomorfismo unitario dall'anello dei numeri interi ad . Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'anello è quindi un oggetto iniziale della categoria degli anelli unitari.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica