Insieme complemento

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Nella teoria degli insiemi e in altri campi della matematica, esistono due tipi di insieme complemento: il complemento relativo (detto anche insieme differenza) e il complemento assoluto.

Complemento relativo[modifica | modifica wikitesto]

Il complemento relativo (o la differenza) di rispetto a :

Avendo due insiemi e , il complemento di rispetto a o l'insieme differenza meno , è formato dai soli elementi di che non appartengono ad . Esso si indica solitamente come oppure come . Formalmente abbiamo:

Si noti che l'insieme differenza è un sottoinsieme dell'insieme .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Proposizioni[modifica | modifica wikitesto]

Se , e sono insiemi, allora valgono le seguenti identità:

Complemento assoluto[modifica | modifica wikitesto]

Il complemento assoluto (in rosso) di (in bianco):

Il complemento assoluto è un caso particolare del complemento relativo.

Differenza tra un cubo e una sfera parzialmente sovrapposti

Se è definito un insieme universo , si definisce complemento assoluto di come il complemento relativo di rispetto ad . Formalmente abbiamo:

Il complemento assoluto, indicato anche come , rappresenta anche il NOT nell'algebra Booleana.

A titolo di esempio, se l'insieme universale è l'insieme dei numeri naturali, allora il complemento dell'insieme dei numeri dispari è l'insieme dei numeri pari.

La prossima proposizione riporta alcune proprietà fondamentali del complemento assoluto in rapporto alle operazioni insiemistiche di unione e intersezione.

Se e sono sottoinsiemi di un insieme universo , allora valgono le seguenti identità.

Leggi di De Morgan:
Leggi di complementarità:
  • Se , allora (ciò segue dall'equivalenza di una proposizione condizionale con la proposizione contronominale).
Involuzione o legge del doppio complemento:
Relazioni tra complemento relativo e complemento assoluto:

Le prime due leggi di complementarità mostrano che se è un sottoinsieme non vuoto di , allora è una partizione di .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Seymour Lipschutz, Topologia, Sonzogno, Etas Libri, 1979.
  • (EN) Paul Halmos (1960): Naive set theory, D. Van Nostrand Company. Ristampato da Springer nel 1974, ISBN 0-387-90092-6.
  • (FR) Nicolas Bourbaki (1968): Théorie des ensembles, Hermann.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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