Paradosso di Russell

Bertrand Russell.

Il paradosso di Russell, formulato dal filosofo e logico britannico Bertrand Russell tra il 1901 e il 1902, è una delle antinomie più importanti della storia della filosofia e della logica. Può essere enunciato così:

«L'insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi appartiene a se stesso se e solo se non appartiene a se stesso.»

Si tratta più propriamente di un'antinomia che di un paradosso: un paradosso è una conclusione logica e non contraddittoria che si scontra con il nostro modo abituale di vedere le cose, mentre un'antinomia è una proposizione che risulta autocontraddittoria sia nel caso che sia vera, sia nel caso che sia falsa.

L'antinomia di Russell può essere espressa in modo "intuitivo" per mezzo di altre formulazioni, come il paradosso del barbiere o quello del bibliotecario; inoltre, essa è basata su un ragionamento analogo a quello che porta sia al paradosso dell'eterologicità di Grelling-Nelson, che, in ultima analisi, anche al paradosso del mentitore.

Il paradosso di Russell ebbe un ruolo fondamentale nella crisi dei fondamenti della matematica, la quale a sua volta ebbe un peso notevole nella più ampia crisi che interessò le certezze fondamentali della fisica, della filosofia e appunto della matematica all'inizio del XX secolo, crisi che spesso è associata al crollo delle dottrine filosofiche di stampo positivista. In particolare, dimostrò la contraddittorietà della teoria ingenua (o intuitiva) degli insiemi di Georg Cantor, che faceva uso di strumenti matematici analoghi a quelli su cui si era basato Gottlob Frege nel tentativo di produrre una completa fondazione della matematica sulla logica (tale tentativo va sotto il nome di Logicismo). Nel tentativo di risolvere l'antinomia, in modo tale da conservare la validità dell'idea (alla base del Logicismo) per cui la matematica può essere fondata completamente dalla logica, Russell sviluppò in collaborazione con Alfred North Whitehead la teoria dei tipi, esposta nel loro libro Principia Mathematica.

L'antinomia

Nell'ambito della teoria intuitiva di Cantor, gli insiemi possono essere definiti in modo completamente libero, cioè si possono creare insiemi con caratteristiche arbitrarie: data una proprietà, essa identifica sempre un insieme, ossia quello di tutti gli oggetti che ne godono. Russell immaginò di creare una suddivisione degli insiemi in due categorie:

• Gli insiemi che tra i loro elementi hanno loro stessi, cioè gli insiemi che appartengono a sé stessi; si cita spesso come esempio "l'insieme di tutti i concetti astratti", che appartiene a sé stesso perché, a sua volta, è un concetto astratto.

$x\in x$

• Gli insiemi che tra i loro elementi non hanno loro stessi, cioè gli insiemi che non appartengono a sé stessi; ad esempio, come notò Russell stesso, "l'insieme di tutte le tazze da tè" non è una tazza da tè.

$x\not \in x$

Se definiamo R come l'insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi, abbiamo:

$\ R=\{x\mid x\not \in x\}$

Il problema posto da Russell a questo punto fu se R appartenga o no a se stesso. Ma supponendo ad esempio che R vi appartenga, si avrebbe che:

• R appartiene a sé stesso;
• Quindi R soddisfa la definizione;
• Quindi R è uno degli "insiemi che non appartengono a sé stessi";
• Quindi R non appartiene a sé stesso, il che contraddice il primo enunciato.

Partendo invece dall'affermazione contraria, cioè supponendo che R non appartenga a sé stesso, si avrebbe che:

• R non appartiene a sé stesso;
• Quindi R non soddisfa la definizione;
• Quindi R non è uno degli "insiemi che non appartengono a sé stessi";
• Quindi R è un insieme che appartiene a sé stesso, il che contraddice il primo enunciato.

In termini logici:

$R\in R\iff R\not \in R$

In sintesi, il paradosso di Russell si può enunciare così: l'insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi appartiene a sé stesso se e solo se non appartiene a sé stesso. Formalmente,

${\text{se }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{, allora }}R\in R\iff R\not \in R$

Storia

Scoperta dell'antinomia

Bertrand Russell approdò alla sua antinomia all'inizio del Novecento, semplificando il teorema di Cantor.

Nello stesso periodo il famoso logico tedesco Gottlob Frege, il più importante esponente del programma logicista, stava portando avanti un tentativo di fondare rigorosamente tutta la costruzione della matematica sulla logica; nel 1879 la sua opera Ideografia aveva posto le basi di quel linguaggio simbolico e formale per mezzo del quale Frege mirava a definire con assoluta evidenza i concetti fondamentali della matematica.

Al momento della scoperta dell'antinomia di Russell egli aveva già pubblicato anche il primo volume dei suoi Principî dell'aritmetica, in cui procedeva alla vera e propria "logicizzazione" dei concetti che altri matematici (Dedekind e Peano) avevano dimostrato essere alla base dell'aritmetica e, di conseguenza, di tutta la matematica. Il 16 giugno 1902 però Russell scrisse a Frege una lettera in cui lo informava di come avesse scoperto un'antinomia connessa con gli argomenti dei Principî dell'aritmetica, che il filosofo britannico aveva letto circa un anno prima. Il punto critico del tentativo di fondazione della matematica sulla logica compiuto dai logicisti (che è anche il punto critico della teoria insiemistica di Cantor) era l'assioma detto "di astrazione", per il quale ogni proprietà individua l'insieme degli oggetti che la soddisfano; la proprietà di non appartenere a sé stesso, infatti, dà origine a un insieme dalle caratteristiche contraddittorie.

Il secondo volume dell'opera di Frege uscì pochi mesi più tardi, nel 1903, e il suo autore poté solo aggiungere un'appendice in cui rendeva pubblica l'antinomia e confessava il suo sconforto, aprendo la "crisi dei fondamenti della matematica":

«Qui non è in causa il mio metodo di fondazione in particolare, ma la possibilità di una fondazione logica dell'aritmetica in generale.»

Nel frattempo, l'antinomia era stata riscoperta da Ernst Zermelo, e va ricordato che era stata anticipata, pochi anni prima, da Georg Cantor.

Conseguenze del paradosso di Russell

Tra la fine del XIX secolo e l'inizio del XX, diversi matematici e filosofi avevano cominciato a interrogarsi sul problema dei "fondamenti della matematica", cioè sulla definizione di basi precise in grado di fondare l'intero edificio concettuale della matematica. L'attenzione, che precedentemente era concentrata quasi esclusivamente sul contenuto dei giudizi matematici, si spostò in questo periodo sulla giustificazione dei giudizi stessi.

Le tre prospettive principali sul problema dei fondamenti furono quella logicista, quella intuizionista e quella formalista.

L'antinomia di Russell, oltre che mandare in crisi il Logicismo, generò problemi contro cui si scontrarono tutti gli studiosi di matematica suoi contemporanei, e che – nonostante diversi tentativi di trovare risposte al paradosso – rimasero insolubili sia per la teoria dei tipi elaborata da Russell insieme a Whitehead, sia per l'Intuizionismo di Luitzen Brouwer sia per il Formalismo di David Hilbert.

Fu il logico austriaco Kurt Gödel che, nel 1931, risolse definitivamente la questione dimostrando l'impossibilità tout court di produrre una fondazione certa dell'aritmetica. I suoi risultati sono enunciati da due teoremi di incompletezza.

Per quanto riguarda l'insiemistica, le contraddizioni messe in luce dal paradosso di Russell sono insolubili nell'ambito della teoria di Cantor, se non generando altri paradossi; per superare questo scoglio furono elaborate diverse teorie assiomatiche più rigorose: quella che ebbe più seguito fu la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, formulata inizialmente da Ernst Zermelo e perfezionata da Abraham Fraenkel e Thoralf Skolem che, con le successive estensioni (ad esempio, la teoria ZFC), fornisce tuttora la base teorica per la maggior parte delle costruzioni matematiche. La vecchia teoria degli insiemi (peraltro tuttora largamente utilizzata a livello scolastico e divulgativo) viene chiamata teoria intuitiva degli insiemi, in contrapposizione alla teoria assiomatica degli insiemi.

Altri paradossi logici

Tra la fine dell'Ottocento e l'inizio del Novecento altre antinomie contribuirono a mettere in crisi le basi logico-concettuali che la matematica si era data, e quindi anche il programma di fondare la matematica stessa su basi logiche che fossero al riparo da qualsiasi contraddizione. Accanto al paradosso di Russell, si ricordano:

• Paradosso di Burali Forti
• Paradosso di Zermelo-König
• Paradosso di Richard
• Paradosso del bibliotecario
• Paradosso dell'eterologicità di Grelling-Nelson

Bibliografia

• F. Cioffi, F. Gallo, G. Luppi, A. Vigorelli, E. Zanette, Diálogos, Edizioni Scolastiche Bruno Mondadori, 2000, vol. 3 Autori e testi e vol. 3 Problemi, ISBN 88-424-5264-5.
• C. Ferrandi, Filosofia e scienza – Un intreccio fecondo, Torino, Il Capitello, 1991, vol. 3.
• W. Maraschini, M. Palma, ForMat, Spe, Paravia, 2002, ISBN 88-395-1435-X.
• P. Odifreddi, Il diavolo in cattedra, Einaudi, 2003, ISBN 88-06-18137-8.

Voci correlate

• Filosofia della matematica
• Crisi dei fondamenti della matematica
• Mereologia

Collegamenti esterni

• Russell, paradosso di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Herbert Enderton, Russell’s paradox, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Paradosso di Russell, su Internet Encyclopedia of Philosophy.
• (EN) Paradosso di Russell, su Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• (EN) Eric W. Weisstein, Paradosso di Russell, su MathWorld, Wolfram Research.