Teoria degli insiemi

La teoria degli insiemi è una teoria matematica posta ai fondamenti della matematica stessa, collocandosi nell'ambito della logica matematica.

Prima della prima metà del XIX secolo la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. La nozione è stata sviluppata nella seconda metà del XIX secolo dal matematico tedesco Georg Cantor, è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal 1890 al 1930 ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di Ernst Zermelo, Adolf Fraenkel, Paul Bernays, Kurt Gödel, John von Neumann e Thoralf Skolem, Gottlob Frege (le convenzioni linguistico-formali, come il quantificatore universale ed esistenziale) e Giuseppe Peano (notazione e sintassi). In questo periodo si sono assestati due sistemi di assiomi chiamati sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel e sistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel.

Successivamente si sono affrontate le tematiche riguardanti il problema della completezza dei sistemi di assiomi (v. teorema di incompletezza di Gödel), i rapporti con la teoria della calcolabilità (vedasi anche macchina di Turing) e la compatibilità dei sistemi di assiomi con l'assioma della scelta e con assiomi equivalenti o simili. Accanto a differenti consolidate teorie formali degli insiemi (vedi anche teoria assiomatica degli insiemi) esistono esposizioni più intuitive che costituiscono la cosiddetta teoria ingenua degli insiemi.

Nozioni di base

Un insieme è definito ingenuamente come una collezione di elementi. Gli elementi possono essere qualsiasi cosa tra cui numeri, persone, o altri insiemi. Il numero di elementi in un insieme può essere finito (l'insieme dei residenti in una città) o infinito (l'insieme dei numeri pari). L'insieme vuoto ($\varnothing$) è quello che non contiene alcun elemento. Un elemento può o meno appartenere ad un insieme: se l'elemento $a$ appartiene all'insieme $A$, allora si dice che $a$ appartiene ad $A$ che si indica con $a\in A$, altrimenti $a\notin A$. Se tutti gli elementi di un insieme $A$ appartengono ad un insieme più grande $B$, si dice che $A$ è un sottoinsieme di $B$ che si indica con $A\subseteq B$, in caso contrario si scrive $A\nsubseteq B$. Se due insiemi $A$ e $B$ contengono esattamente gli stessi elementi, allora si ha che $A=B$.

La cardinalità $|A|$ di un insieme $A$ è la misura del numero di elementi contenuti in quell'insieme.

Come con le operazioni aritmetiche, sono definite alcune operazioni binarie fra insiemi, che prendono in considerazione due insiemi e restituiscono un terzo insieme basato sull'operazione insiemistica:

Unione

$A$

$B$

L'unione $\cup$ (o disgiunzione logica $\lor$) fra due insiemi $A$ e $B$ è l'insieme che contiene tutti gli elementi di entrambi gli insiemi, presi una sola volta. Ad esempio, se $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{3,4,5\}$, $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}.$

Intersezione

$A$

$B$

L'intersezione $\cap$ (o congiunzione logica $\land$) fra due insiemi $A$ e $B$ è l'insieme che contiene tutti gli elementi in comune tra i due insiemi. Ad esempio, se $A=\{2,3,4\}$ e $B=\{3,4,5\}$, $A\cup B=\{3,4\}$.

Differenza

$A$

$B$

La differenza $\setminus$ fra due insiemi $A$ e $B$ è l'insieme che contiene tutti gli elementi di $A$ che non appartengono a $B$.

Differenza simmetrica

$A$

$B$

La differenza simmetrica $\Delta$ (o disgiunzione inclusiva ${\dot {\lor }}$) fra due insiemi $A$ e $B$ è l'insieme che contiene gli elementi di $A$ e $B$, ma non quelli in comune, può anche essere definito come $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

Altre operazioni

• Il prodotto cartesiano $\times$.
• La somma disgiunta $+$.

Operazioni unarie

Esistono inoltre altre operazioni che agiscono su un solo insieme:

• Il complemento $A^{c}$ (o negazione logica $\neg$), anche indicato con $A'$, è l'insieme che contiene tutti gli elementi che non appartengono ad $A$.
• L'insieme delle parti (o insieme potenza) ${\mathcal {P}}(A)$ è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di $A$. Quindi, se $A=\{2,3,4\}$, ${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{2\},\{3\},\{4\},\{2,3\},\{3,4\},\{2,4\},A\}$.

Leggi della teoria degli insiemi

Si noti che

$(A\cup B)\cap C\neq A\cup (B\cap C).$

Ne consegue che gli operatori unione, intersezione e complemento non sempre godono dell'associatività.

Leggi distributive

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\qquad$ "l'intersezione di un insieme con l'unione degli altri due è uguale all'unione delle singole intersezioni".

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\qquad$ "l'unione di un insieme con l'intersezione degli altri due è uguale all'intersezione delle singole unioni".

Leggi di De Morgan

$(B\cup C)^{c}=B^{c}\cap C^{c}\qquad$ "il complemento dell'unione è l'intersezione dei singoli complementi".

$(B\cap C)^{c}=B^{c}\cup C^{c}\qquad$ "il complemento dell'intersezione è l'unione dei singoli complementi".

Dimostrazione

Per completezza includiamo una dimostrazione possibile della prima legge di De Morgan:

$(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.$

Dato $x\in (A\cup B)^{c}$ segue per definizione di complementare che $x\notin (A\cup B)$, ossia $x$ non è né un elemento di $A$ né un elemento di $B$.

Se $x$ non è un elemento di $A$, allora deve per forza essere un elemento del suo complementare $A^{c}$. La stessa logica è applicabile per dire che $x$ appartiene al complementare di $B$ (ossia $B^{c}$). Visto che $x$ fa parte sia di $A^{c}$ che di $B^{c}$, segue che $x$ faccia parte dell'intersezione di questi due insiemi, da cui deriva che $x\in A^{c}\cap B^{c}$.

Unioni e intersezioni arbitrarie

Abbiamo detto che un insieme può contenere altri insiemi. Talvolta se tutti gli elementi di un insieme $X$ sono essi stessi insiemi, $X$ prende il nome di collezione. L'esempio più comune di collezione è il già citato insieme delle parti.

Unione arbitraria

Data una collezione ${\mathcal {A}}$ di insiemi, l'insieme ottenuto dall'unione di tutti i suoi elementi (che sono essi stessi insiemi) è scrivibile come:

$\bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}A=\{x\,|\,x\in A{\text{ per almeno un }}A\in {\mathcal {A}}\}.$

Ossia $\bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}A$ equivale a prendere tutti gli elementi $x$ contenuti in ciascun insieme $A$ facente parte alla collezione ${\mathcal {A}}$.

Intersezione arbitraria

Data una collezione ${\mathcal {A}}$ di insiemi, l'insieme ottenuto dall'intersezione di tutti i suoi elementi (che sono essi stessi insiemi) è scrivibile come:

$\bigcap _{A\in {\mathcal {A}}}A=\{x\,|\,x\in A{\text{ per ogni }}A\in {\mathcal {A}}\}.$

Ossia $\bigcap _{A\in {\mathcal {A}}}A$ equivale a prendere tutti gli elementi $x$ simultaneamente contenuti in tutti gli insiemi $A$ facenti parte alla collezione ${\mathcal {A}}$.

Prodotto cartesiano

Dati due insiemi $A$ e $B$, il prodotto cartesiano $A\times B$ è definito come l'insieme delle coppie ordinate $(a,b)$ dove $a\in A$ e $b\in B$.

In simboli:

$A\times B=\{(a,b)\,|\,a\in A\land b\in B\}.$

Si noti che il prodotto cartesiano introduce per definizione il concetto di "ordine" creando coppie ordinate. Pertanto, $A$ e $B$ possono essere insiemi qualsiasi, senza la necessità che su di essi vi sia definita una particolare relazione d'ordine.

Talvolta per sottolineare che le coppie di un prodotto cartesiano sono ordinate possiamo imbatterci nella dicitura:

$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}\qquad$ (definizione di Kuratowski).

Questa definizione stabilisce che ciascuna coppia ordinata è una collezione di due insiemi, uno contenente il singoletto il cui unico elemento è il primo componente della coppia stessa, l'altro l'insieme di cardinalità 2 i cui elementi sono entrambi i componenti della coppia.

Da questa definizione segue che

$(a,b)\neq (b,a)$

poiché

• $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\};$
• $(b,a)=\{\{b\},\{a,b\}\}.$

Tuttavia, per quanto questa definizione possa essere elegante, l'ordine del prodotto cartesiano è spesso considerato un concetto primitivo che non necessita dimostrazione.

Insiemi delle diverse cardinalità e controllabilità

• Insieme numerabile
• Insieme ricorsivo
• Insieme ricorsivamente enumerabile
• Insieme con la potenza del continuo
• Numero transfinito

Insiemi numerici

• numeri naturali
• numeri interi o numeri relativi
• numeri razionali
• numeri reali
• numeri irrazionali
• numeri algebrici
• numeri complessi
• numeri trascendenti
• numero transifiniti

Bibliografia

• Alexander Abian, La teoria degli insiemi e l'aritmetica transfinita, Feltrinelli, 1972
• (EN) Paul Bernays, Axiomatic Set Theory, Dover, 1991
• (FR) Nicolas Bourbaki, Théorie des ensembles, Hermann, 1970
• Paul J. Cohen, La teoria degli insiemi e l'ipotesi del continuo, Feltrinelli, 1973
• Frank R. Drake e Dasharath Singh, Intermediate set theory, Wiley, 1996, ISBN 978-0-471-96494-0.
• (EN) Robert E. Edwards, A formal Background to Mathematics Ia Ib. Logic, sets and Numbers, Springer, 1979, ISBN 3-540-90431-X
• (EN) Abraham H. Fraenkel, Abstract set theory, North-Holland, 1961
• Paul Halmos, Teoria elementare degli insiemi, Feltrinelli, 1976
• Gabriele Lolli, Teoria assiomatica degli insiemi, Boringhieri, 1974
• J. Donald Monk, Introduzione alla teoria degli insiemi, Boringhieri, 1972
• Patrick Suppes, Axiomatic set theory, collana Dover books on advanced mathematics, 1. Dover ed, Dover Publ, 1972, ISBN 978-0-486-61630-8.
• James Munkres, Topology, 2ª ed. (Pearson New International Edition), Harlow, Pearson Education Limited, 2013, ISBN 978-1-292-02362-5.

Voci correlate

• Teoria ingenua degli insiemi
• Teoria assiomatica degli insiemi
• Insieme sfocato o fuzzy set
• Luogo geometrico
• Teoria delle categorie
• Teoria dei tipi
• Analisi non standard

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Gabriele Lolli, La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. La teoria degli insiemi, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2004.
• insiemi, teoria degli, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Robert R. Stoll e Herbert Enderton, set theory, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Daniel Cunningham, Set Theory, su Internet Encyclopedia of Philosophy.
• (EN) Bagaria, Joan, Set Theory, su Stanford Encyclopedia of Philosophy, 8 ottobre 2014.
• (EN) Ferreirós, José, The Early Development of Set Theory, su Stanford Encyclopedia of Philosophy, 10 aprile 2007.
• (EN) Eric W. Weisstein, Set Theory, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Set theory, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Denis Howe, set theory, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL