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Teoria degli anelli

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In matematica, e più precisamente in algebra, la teoria degli anelli è lo studio degli anelli, strutture algebriche dotate delle operazioni di somma e prodotto simili ai numeri interi.

Introduzione informale[modifica | modifica wikitesto]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un anello è una struttura algebrica dotata di un sostegno e di due operazioni, chiamate somma e prodotto, che soddisfano le proprietà seguenti:

Informalmente, si chiede che somma e prodotto soddisfino le stesse proprietà valide nei numeri interi, tranne una: non è richiesto infatti che il prodotto sia commutativo (mentre è richiesto che la somma lo sia).

Un anello in cui anche il prodotto è commutativo è un anello commutativo. Oltre ai numeri interi, esempi classici di anelli sono gli spazi di matrici (non commutativo) e soprattutto di polinomi (commutativo). Spesso questi spazi hanno anche una struttura di spazio vettoriale, e vengono quindi chiamati algebre.

Come nelle altre strutture algebriche, un omomorfismo è una funzione fra anelli che preserva le operazioni. Un isomorfismo è un omomorfismo che ammette un inverso.

Alcuni autori non richiedono che sia presente l'elemento neutro 1 per la moltiplicazione nella definizione di anello, e parlano di anello con unità nel caso in cui ci sia.

Campo[modifica | modifica wikitesto]

Un anello è una struttura molto flessibile, che può avere molte proprietà aggiuntive, ad esempio la commutatività del prodotto, e le più importanti fra queste strutture aggiuntive hanno un nome. La struttura più importante è sicuramente quella di campo: un campo è un anello commutativo in cui tutti gli elementi (tranne lo zero) hanno un inverso rispetto al prodotto. Esempi di campi sono gli insiemi dei numeri razionali, reali, complessi. I campi sono alla base della definizione degli spazi vettoriali, e di fondamentale importanza per la teoria di Galois: la disciplina che li studia è la teoria dei campi.

Ideali[modifica | modifica wikitesto]

Un ruolo importante nella teoria degli anelli è giocato dagli ideali, che si comportano in modo simile ai sottogruppi normali nella teoria dei gruppi. Un ideale è un sottoinsieme dell'anello chiuso rispetto alla somma e al prodotto per qualsiasi elemento dell'anello (assumiamo qui che l'anello sia commutativo, per semplicità). L'importanza di questa nozione sta nei fatti seguenti:

  • Il nucleo di un omomorfismo è un ideale;
  • Se è un ideale di , si può fare il quoziente che è ancora un anello.

In questo modo è possibile costruire molti anelli a partire da uno dato, quozientando per i suoi ideali. Ad esempio, l'anello

dei polinomi in variabili a coefficienti nel campo contiene molti ideali, e tramite quoziente si costruiscono molte tipologie differenti di anelli. Questi ideali giocano un ruolo da protagonista in geometria algebrica per il fatto seguente:

  • Ogni ideale di definisce una varietà algebrica in , e viceversa.

Lo studio degli ideali in un anello fissato è quindi di fondamentale importanza. Tra questi, i più rilevanti per la geometria algebrica sono gli ideali primi e gli ideali massimali. Gli ideali principali sono gli ideali generati da un solo elemento.

Tipologie di anelli[modifica | modifica wikitesto]

Nelle definizioni che seguono gli anelli sono sempre supposti commutativi.

Un dominio d'integrità è un anello in cui non esistono divisori dello zero, cioè elementi tali che per qualche altro elemento non nullo. L'anello degli interi non contiene divisori dello zero (tranne lo zero, ovviamente), ma è facile costruire anelli di polinomi che ne contengono.

Un anello a fattorizzazione unica è un anello in cui ogni elemento si fattorizza in modo unico come prodotto di elementi primi, similmente a quanto accade nei numeri interi con il Teorema fondamentale dell'aritmetica.

Un anello a ideali principali è un anello in cui ogni ideale è principale.

Un anello euclideo è un anello in cui è possibile effettuare una sorta di divisione con resto, e quindi l'algoritmo di Euclide per la determinazione del massimo comune divisore.

Le definizioni date sono una contenuta nell'altra; valgono infatti le implicazioni seguenti:

anello euclideoanello a ideali principalianello a fattorizzazione unicadominio d'integritàanello commutativo.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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