Aree della matematica

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La matematica, nel corso della sua storia, è diventata una materia estremamente diversificata, di conseguenza si è reso necessario categorizzare le sue aree. Nel frattempo sono sorti un certo numero di schemi di classificazione, e, anche se condividono alcune somiglianze, in essi sono presenti differenze dovute in parte ai diversi scopi per cui sono stati creati. Inoltre, dal momento che la matematica si evolve, questi schemi di classificazione devono a loro volta evolversi, anche a causa della scoperta di nuove aree o di collegamenti appena individuati tra quelle preesistenti. La classificazione inoltre è resa più difficile da parte di alcuni settori, spesso i più attivi, che si situano ai confini delle diverse aree.

La matematica è divisa tradizionalmente in matematica pura, studiata per il suo interesse intrinseco, e matematica applicata, la matematica applicabile direttamente a problemi del mondo reale. Questa divisione non è sempre chiara e molti argomenti sono stati sviluppati nello studio della matematica pura per trovare in seguito inaspettate applicazioni. Più recentemente sono emerse divisioni di massima, come la matematica discreta e matematica computazionale.

Sistemi di classificazione[modifica | modifica wikitesto]

Principali divisioni della matematica[modifica | modifica wikitesto]

Matematica pura[modifica | modifica wikitesto]

Fondamenti[modifica | modifica wikitesto]

Matematica ricreativa
Dal quadrato magico all'insieme di Mandelbrot, i numeri sono stati nel corso dei secoli una fonte di divertimento e di gioia per milioni di persone. Molti rami importanti della matematica cosiddetta "seria", possiedono le loro radici in quello che una volta era considerato un semplice puzzle e/o gioco.
Storia
La storia della matematica è inestricabilmente intrecciata con la materia stessa. Ciò è perfettamente naturale: la matematica ha una struttura organica interna, e fa derivare nuovi teoremi da quelli precedenti. Ogni nuova generazione di matematici si basa sui risultati dei maestri che l'hanno preceduta, la materia stessa si espande e cresce.
Logica matematica e teoria degli insiemi
I matematici hanno sempre lavorato con logica e simboli, ma per secoli sono state adottate le leggi alla base della logica come se fossero scontate, e senza l'uso di simboli. La logica matematica, nota anche come logica simbolica, è stato sviluppata quando si è finalmente capito che gli strumenti della matematica possono essere usati per studiare la struttura della logica stessa. Le aree di ricerca in questo campo si sono ampliate rapidamente, e sono di solito suddivise in più reparti distinti.
Teoria dei modelli
Studia la teoria dei modelli matematici e le sue strutture in un quadro generale. Il suo strumento principale è la logica del primo ordine.
Teoria degli insiemi
Un insieme può essere pensato come una collezione di enti distinti uniti da una proprietà comune. La teoria degli insiemi è suddivisa in tre aree principali. La Teoria ingenua degli insiemi è la teoria degli insiemi originale sviluppata dai matematici che vissero alla fine del diciannovesimo secolo.La Teoria assiomatica degli insiemi è una rigorosa teoria basata su assiomi, nata per correggere alcuni gravi difetti nella teoria ingenua degli insiemi.[1] Essa tratta un insieme come "qualsiasi cosa soddisfi gli assiomi", e la nozione di collezioni di oggetti serve solo come motivazione per gli assiomi. Teoria degli insiemi interna è una estensione assiomatica della teoria degli insiemi che supporta una identificazione logicamente coerente dei concetti di illimitato (enormemente grande) e infinitesimale (incredibilmente piccolo) elementi all'interno dei numeri reali. Vedi anche la categoria teoria degli insiemi.
Teoria della dimostrazione e matematica costruttiva
La Teoria della dimostrazione nasce dall'ambizioso programma di David Hilbert di formalizzare tutte le prove della matematica. Il più famoso risultato nel campo è dato dai teoremi di incompletezza di Gödel. Un concetto strettamente correlato e ora molto popolare è l'idea di macchine di Turing. Il Costruttivismo è conseguenza della visione, poco ortodossa, della natura della logica stessa secondo Brouwer; costruttivamente parlando, i matematici non possono affermare che "un cerchio è rotondo, o non lo è", fino a quando non hanno in realtà mostrato un cerchio e misurato la sua rotondità.

Algebra[modifica | modifica wikitesto]

L'algebra si occupa dello studio delle strutture algebriche. Storicamente tale trattazione è nata dal concetto di numero portando all'aritmetica. Le proprietà più profonde di questi numeri sono studiate dalla teoria dei numeri. L'indagine dei metodi per risolvere le equazioni conduce al campo dell'algebra astratta, che, tra le altre cose, studia le strutture di anello e di campo. I problemi storici riguardo alla costruzione di luoghi geometrici tramite riga e compasso furono risolti dalla teoria di Galois. Il concetto fisicamente importante di vettore è stato generalizzato come elemento di uno spazio vettoriale e viene studiato dall'algebra lineare.

Teoria degli ordini
Qualsiasi insieme di numeri reali può essere scritto in ordine crescente. La Teoria degli ordini estende questa idea agli insiemi in generale. Esso comprende nozioni come reticoli e ordinato struttura algebrica s. Vedi anche il teoria ordine glossario e la elenco di argomenti di ordine.
Sistema algebrico Generale
Dato un set, è possibile combinare i relativi componenti che possono essere definiti nell'insieme. Se questi obbediscono a determinate regole, poi è possibile formare una particolare struttura algebrica. Lo studio più formale di questi sistemi e strutture viene chiamato Algebra universale.
Teoria dei numeri
Le proprietà dei numeri interi vengono studiate tradizionalmente attraverso la Teoria di numeri interi. Solo recentemente sono spontaneamente sorte, nel corso dello studio dei numeri interi, alcune classi di problemi. Queste possono essere suddivise in teoria dei numeri elementari, dove i numeri interi sono studiati senza l'ausilio di tecniche provenienti da altri campi della matematica, dalla teoria analitica dei numeri, dove sono utilizzati come strumenti il calcolo infinitesimale e l'Analisi complessa, dalla teoria algebrica dei numeri, che studia i numeri algebrici, le radici dei polinomi a coefficienti interi, la teoria geometrica dei numeri, la teoria dei numeri combinatoria, la teoria dei numeri trascendenti e la teoria dei numeri computazionale. Vedi anche la lista degli argomenti di teoria dei numeri.
Teoria dei campi e studio dei polinomi
Questa sottoclassificazione studia la teoria dei campi e le sue proprietà. Un campo è un ente matematico per il quale addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione sono ben definiti. Un polinomio è un'espressione in cui le costanti e variabili vengono combinati utilizzando solo addizione, sottrazione e moltiplicazione.
Anello commutativo e algebre
In teoria degli anelli, un ramo di algebra astratta, un anello commutativo è un anello in cui la moltiplicazione è un'operazione commutativa. Questo significa che se a e b sono tutti gli elementi del ring, poi a × b = b × a. Algebra commutativa è il campo di studio di anelli commutativi e dei loro ideali, moduli e algebre. È fondamentale, sia per la geometria algebrica che per la teoria algebrica dei numeri. Gli esempi più importanti di anelli commutativi sono anelli di polinomi.

Analisi matematica[modifica | modifica wikitesto]

All'interno del mondo della matematica, l'Analisi è il ramo che si concentra sul cambiamento: per esempio, la variazione del valore di una funzione al variare del suo argomento (derivata), o l'operazione inversa (integrale).

L'analisi moderna è un vasto ramo della matematica in rapida espansione che tocca quasi ogni altra suddivisione della disciplina, trovando applicazione in aree quai la teoria dei numeri, la crittografia e l'algebra astratta. È anche il linguaggio della scienza stessa e viene usato in tutte le scienze: chimica, biologia e fisica, astrofisica e cristallografia a raggi X.

Studio dei sistemi dinamici
Lo studio delle soluzioni dei equazioni del moto dei sistemi che sono in primo luogo meccanici in natura, anche se questo varia da orbita planetaria (s) attraverso il comportamento di circuito elettronico (s) per le soluzioni di equazione differenziale parziale(s) che sorgono in biologia. Gran parte della moderna ricerca è focalizzata sullo studio del sistema caotico (s). Vedi anche la lista degli argomenti di sistemi dinamici.

Matematica Combinatoria[modifica | modifica wikitesto]

La matematica Combinatoria è lo studio delle collezioni limitate o discrete di oggetti che soddisfano alcuni criteri specifici. In particolare, si occupa di "contare" gli oggetti in quelle raccolte, attraverso la matematica combinatoria enumerativa, e, con il decidere se esistono determinati oggetti "ottimali", attraverso la matematica combinatoria estremale. Tale sottodivisione comprende la teoria dei grafi, usata per descrivere oggetti interconnessi[2]. Vedi anche l' elenco degli argomenti del calcolo combinatorio, l' elenco di argomenti della teoria dei grafi e il glossario della teoria dei grafi. In molte branche del problem solving è presente la cosiddetta, matematica combinatoria sapore.

Geometria e Topologia[modifica | modifica wikitesto]

La Geometria si occupa di relazioni spaziali, utilizzando le qualità fondamentali o l'assioma(s). Tali assiomi possono essere utilizzati in combinazione con le definizioni matematiche di punti, linee rette, curve, superfici e solidi per trarre conclusioni logiche. Vedi anche Elenco di argomenti di geometria

Geometria convessa e geometria discreta

Comprende lo studio di oggetti come politopi e poliedri. Vedi anche Lista dei soggetti convessità.
Geometria combinatoria
È lo studio degli oggetti geometrici e delle loro proprietà discrete o combinatorie, sia per loro natura che per la loro rappresentazione. Essa comprende lo studio di forme, come i solidi platonici e le tassellazioni.
Geometria differenziale
Lo studio della geometria mediante calcolo, ed è strettamente correlato alla topologia differenziale. Copre settori come geometria riemanniana, curvatura e geometria differenziale di curve. Vedi anche il glossario di geometria differenziale e topologia.
Geometria algebrica
Dato un polinomio di due veri variabili, i punti su un piano sul quale tale funzione è uguale a zero formeranno una curva. Una curva algebrica estende questa nozione di polinomi su un Campo in un dato numero di variabili. La geometria algebrica può essere vista come lo studio di queste curve. Vedi anche lista degli argomenti di geometria algebrica ed elenco delle superfici algebriche.
Topologia
Tratta delle proprietà di una figura che non cambiano quando la figura viene continuamente deformata. Le aree principali sono set point topologia (o topologia generale), topologia algebrica, e la topologia di collettore s, definito di seguito.
Topologia generale
detto anche set point topologia. Proprietà del spazio topologico s. Comprende nozioni come aperto e chiuso set, spazio compatto, funzione continua, convergenza, separazione assioma, spazio metrico, teoria della dimensione. Vedi anche il glossario di topologia generale e la lista degli argomenti generali di topologia.
Topologia algebrica
Le proprietà di oggetti algebrici associati a uno spazio topologico e di come questi oggetti algebrici catturano proprietà di tali spazi. Contiene aree come teoria omologia, teoria coomologia, teoria omotopia e algebra omologica, alcuni di loro esempi di funtore s. Offerte omotopia con gruppo homotopy s (compreso il gruppo fondamentale) e complessi simpliciali e complessi CW (anche chiamato' complessi cellulari). Vedi anche il lista degli argomenti topologia algebrica.
Collettore s
un collettore può essere pensato come un n - dimensione Al generalizzazione di una superficie nel solito 3-dimensionale spazio euclideo. Lo studio dei collettori comprende topologia differenziale, che esamina le proprietà delle funzioni derivabili definite su un collettore. Vedi anche collettore complesso s.

Matematica Applicata[modifica | modifica wikitesto]

Probabilità e statistica[modifica | modifica wikitesto]

Vedi anche glossario di probabilità e statistica

Scienze computazionali[modifica | modifica wikitesto]
Analisi numerica
Molti problemi matematici non possono essere risolti in maniera esatta. L'Analisi numerica è lo studio dei metodi iterativi e degli algoritmi per risolvere approssimativamente tali problemi. Tra le principali aree di questa disciplina si trova: la differenziazione numerica, l'integrazione numerica e in generale l'ampia categoria dei metodi numerici. Vedi anche Elenco di argomenti di analisi numerica
Algebra computazionale
Detto anche calcolo simbolico o calcolo algebrico, si occupa di calcolo esatto, per esempio con i numeri interi di dimensioni arbitrarie, polinomi o elementi dei campi finiti. Esso comprende anche il calcolo con oggetti matematici non numerici come polinomi ideali o di una serie.
Scienze fisiche[modifica | modifica wikitesto]
Meccanica
Indirizzi cosa succede quando un vero e proprio oggetto fisico è sottoposto a forze. Questo divide naturalmente nello studio dei solidi rigidi, solidi deformabili, e fluidi, di seguito dettagliate.
Meccanica delle particelle
In matematica, una particella è un puntiforme, perfettamente rigida, oggetto solido. Meccanica delle particelle Offerte con i risultati di sottoporre particelle di forze. Esso comprende celeste meccanica-lo studio del moto dei corpi celesti.
Meccanica dei solidi deformabili
la maggior parte degli oggetti del mondo reale non sono puntiformi, né perfettamente rigida. Ancora più importante, gli oggetti cambiano forma quando sottoposto a forze. Questo tema ha una forte sovrapposizione con continuità meccanica, che si occupa di materia continua. Si tratta di nozioni come di stress, ceppo ed elasticità. Vedi anche continuità meccanica.
Meccanica dei fluidi
Fluido s in questo senso comprende non solo liquido s, ma che scorre del gas es, e anche solido s in determinate situazioni. (Per esempio, asciutta sabbia può comportarsi come un fluido). Esso comprende nozioni come viscosità, flusso turbolento e flusso laminare (il suo opposto). Vedi anche fluidodinamica.
Altre scienze matematiche[modifica | modifica wikitesto]
  • Le operazioni di ricerca (OR), meglio note come ricerca operativa, forniscono soluzioni ottimali o quasi ottimali a problemi complessi. Per far ciò, è fondamentale il concetto di modello matematico,e di importanti strumenti matematici come le analisi statistiche.
  • La Programmazione matematica (o ottimizzazione) consiste nella ricerca di un minimo (o massimo) di una funzione a valori reali su un dominio eventualmente soggetto a vincoli.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Portati alla luce, ad esempio, dal paradosso di Russell.
  2. ^ Un grafo, in questo senso, è una rete, o un insieme di punti collegati.
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