Struttura (matematica)

In matematica, una struttura (o struttura matematica) è un'entità formata da un insieme (detto insieme di supporto o portante) dotato di oggetti o proprietà matematiche addizionali, come operazioni o relazioni definite tra i suoi elementi (strutture di primo livello) o tra i suoi sottoinsiemi (strutture di secondo livello), vincolate a soddisfare un determinato insieme di condizioni dette assiomi. L'introduzione di una struttura arricchisce l'insieme di partenza conferendogli significato formale, consentendo di visualizzarlo, manipolarlo e impiegarlo come strumento di calcolo: a titolo di esempio, un gruppo non coincide con il solo insieme sottostante, bensì con la coppia ordinata formata dall'insieme e dall'operazione che ne rispetta gli assiomi.

Le strutture possono essere:

• algebriche, se costituite da funzioni e costanti su un insieme (es. gruppi, anelli, campi, reticoli), spesso formulate per mezzo di sole uguaglianze nell'ambito dell'algebra universale;
• relazionali e d'ordine: definite da relazioni, come le relazioni d'ordine parziale;
• topologiche: caratterizzate da famiglie di insiemi (come gli insiemi aperti in uno spazio topologico) o da spazi uniformi;
• o anche geometriche, metriche, differenziali e insiemi dotati di relazioni di equivalenza o grafi.

Molto frequentemente un insieme è dotato di più strutture simultanee che interagiscono in sinergia, dando luogo a strutture miste: esse possono nascere dall'unione compatibile di strutture generate dagli elementi dell'insieme stesso (come i gruppi topologici o i campi ordinati, in cui l'ordine induce o si combina con la topologia) oppure coinvolgere elementi esterni all'universo generato dall'insieme di supporto (come gli spazi metrici, definiti tramite i numeri reali $\mathbb {R}$, o gli spazi vettoriali e i moduli, definiti su un campo o un anello).

Lo studio comparativo di insiemi dotati del medesimo tipo di struttura si basa sui morfismi, ovvero applicazioni che preservano le relazioni e le operazioni nel passaggio dal dominio al codominio; esempi canonici comprendono gli omomorfismi (per le strutture algebriche), le funzioni continue e gli omeomorfismi (per quelle topologiche) e i diffeomorfismi (per quelle differenziali). Quando un morfismo è invertibile, esso costituisce un isomorfismo, indicando che i due insiemi risultano indistinguibili dal punto di vista delle proprietà della specifica struttura.

Concetto fondante della matematica contemporanea e oggetto cardine della teoria dei modelli, l'approccio basato sulle strutture fu formalizzato e ampiamente promosso a partire dalla metà del Novecento dal gruppo Nicolas Bourbaki, ponendo le basi del moderno strutturalismo matematico.

Definizione formale

Dati:

• Un insieme, $A\neq \emptyset$
• Tre insiemi disgiunti di indici, $I,J,K$
• Una funzione, $ar:I\cup J\rightarrow \mathbb {N}$
• Un insieme, $\{c_{k}^{\mathfrak {A}}\in A,\ \forall k\in K\}$
• Un insieme, ${\displaystyle \{R_{i}^{\mathfrak {A}}\$ :\ R_{i}^{\mathfrak {A}}\ relazione\ ar(i)-aria\ su\ A,\ \forall i\in I\}}
• Un insieme, ${\displaystyle \{f_{j}^{\mathfrak {A}}\$ :\ f_{j}^{\mathfrak {A}}\ funzione,\ f_{j}^{\mathfrak {A}}:A^{ar(j)}\rightarrow A,\ \forall j\in J\}}

Si chiama struttura su $A$ la quaterna:

${\mathfrak {A}}=<A,\{R_{i}^{\mathfrak {A}}\}_{i\in I},\{f_{j}^{\mathfrak {A}}\}_{j\in J},\{c_{k}^{\mathfrak {A}}\}_{k\in K}>$

Inoltre, gli elementi $c_{k}^{\mathfrak {A}}$ si chiamano elementi speciali di ${\mathfrak {A}}$. La quaterna $\tau =<I,J,K,ar>$ si definisce tipo di similarità di ${\mathfrak {A}}$. Si definisce infine cardinalità di ${\mathfrak {A}}$, $|{\mathfrak {A}}|=|A|$.

La struttura ${\mathfrak {A}}$ si dice algebrica se $J\neq \emptyset$, e relazionale se $I\neq \emptyset$.

Esempio: i numeri reali

L'insieme dei numeri reali ha diverse strutture standard:

• ordine lineare: ogni numero o è più piccolo o è più grande di qualunque altro numero;
• struttura algebrica: ci sono operazioni di moltiplicazione e addizione che lo rendono un campo;
• metrica: c'è una nozione di distanza fra punti;
• misura: è possibile assegnare una misura a certi suoi sottoinsiemi (tipicamente, i boreliani);
• geometria: l'insieme è dotato di una metrica e risulta piatto (rispetta gli assiomi del piano euclideo);
• topologia: c'è una nozione di insieme aperto.

Ci sono poi delle correlazioni fra tutte queste strutture:

• la metrica induce la topologia;
• l'ordine e la struttura algebrica ne fanno un campo ordinato;
• la struttura di campo e la topologia ne fanno un gruppo di Lie, che è un tipo particolare di gruppo topologico.

Voci correlate

• Struttura algebrica
• Struttura relazionale
• Morfismo
• Gioco di Ehrenfeucht-Fraïssé

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Collegamenti esterni

• (EN) structure, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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