Polinomio

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In matematica un polinomio è un'espressione composta da costanti e variabili combinate usando soltanto addizione, sottrazione e moltiplicazione. In altre parole, un polinomio tipico, cioè ridotto in forma normale, è la somma algebrica di alcuni monomi non simili tra loro, vale a dire con parti letterali diverse. Ad esempio

è la somma di tre monomi. Ciascun monomio è chiamato termine del polinomio.

Le costanti sono anche chiamate "coefficienti" e sono tutte elementi di uno stesso insieme numerico o di un anello.

Quando valutati in un opportuno dominio, i polinomi possono essere interpretati come funzioni. Ad esempio, il polinomio

definisce una funzione reale di variabile reale.

Quando questo ha senso, le radici del polinomio sono definite come l'insieme di quei valori che, sostituiti alle variabili, danno all'espressione polinomiale il valore nullo. Ad esempio, ha come radici i valori e , poiché sostutuendoli nell'espressione del polinomio si ha

I polinomi sono oggetti matematici di fondamentale importanza, alla base soprattutto dell'algebra, ma anche dell'analisi e della geometria analitica.

Nomenclatura[modifica | modifica wikitesto]

Un polinomio si dice:

  • ridotto in forma normale, quando è stato semplificato, sono stati accorpati i suoi termini simili e sono stati eliminati gli eventuali monomi nulli. Ad esempio:
ridotto in forma normale diventa
  • nullo, se consta del solo zero.
  • monomio, binomio, trinomio, quadrinomio... se è la somma rispettivamente di uno, due, tre, quattro... monomi.
  • omogeneo se è la somma di monomi dello stesso grado. Ad esempio:

    è omogeneo di grado .
  • completo rispetto ad una variabile, se osservando tutti i termini del polinomio di quella certa variabile e partendo dal termine di grado più elevato rispetto a quella variabile il polinomio contiene tutti i termini di grado inferiore fino a zero. Esempio di un polinomio completo rispetto a :

Due polinomi sono considerati uguali se, dopo essere stati ridotti in forma normale, hanno gli stessi termini, a meno dell'ordine. Quindi i polinomi seguenti sono uguali:

Il grado di un polinomio non nullo e ridotto in forma normale è il massimo grado dei suoi monomi, mentre il grado parziale rispetto ad una variabile è il grado risultante vedendo tutte le altre variabili come coefficienti. Quindi

ha grado due, mentre ha gradi parziali uno rispetto sia a che a .

Si dicono coefficienti di un polinomio i coefficienti dei suoi singoli termini. Quindi i coefficienti di sono rispettivamente , e : il coefficiente in un monomio è solitamente sottinteso.

Il termine noto di un polinomio ridotto in forma normale è l'unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente variabili. Se non esiste un tale monomio, il termine noto è considerato generalmente inesistente o uguale a zero, secondo il contesto. Ad esempio, in

il termine noto è l'ultimo monomio: .

Operazioni con i polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Due polinomi possono essere sommati, sottratti, e moltiplicati usando le usuali proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio, se

allora la somma ed il prodotto di p e q sono rispettivamente

Somme e prodotti di polinomi danno come risultato un nuovo polinomio.

Somma di due polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Il grado (degree) della somma (o differenza) di due polinomi è minore o uguale al polinomio di grado maggiore. È sempre uguale al massimo tra i due, quando i due polinomi hanno grado differente:

.
.

Esempi:

  • Il grado di is 3. Si noti che 3 ≤ max(3, 2)
  • Il grado di is 2. Si noti che 2 ≤ max(3, 3)

Prodotto scalare di due polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Il grado di un prodotto scalare di un polinomio per un numero sclare (diverso da zero) è uguale al grado del polinomio:

.

Esempio:

  • Il grado di è 2, che è appunto uguale al grado di .

Si noti che questo non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello che contiene un divisore di zero. Ad esempio, in , , ma . L'insieme dei polinomi aventi coefficienti da un dato campo F e grado minore o uguale a n, fomr auno spazio vettoriale (questo insieme non è un anello, e non è chiuso, come mostrato in precedenza).

Moltiplicazione di due polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Il grado del prodotto di due polinomi definiti su un campo -(oggetto in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto, con certe proprietà)- oppure su un dominio d'integrità, è pari alla somma dei gradi dei due polinomi:

.

Es.:

  • Il grado di è .


Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in , , ma .

Composizione di due polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Il grado della composizione di due polinomi and a coefficienti non-costanti, è uguale al prodotto dei rispettivi gradi:

.

Es.:

  • Se , , allora , che ha grado d 6.

Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in , , ma .

Grado del polinomio zero[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo affermare correttamente sia che il grado del polinomio zero è indefinito, sia che il grado del polinomio zero può essere definito con un numero negativo (per convenzione −1 o −∞).[1]

Come qualsiasi valore costante, il valore zero può essere considerato come un polinomio (costante), detto polinomio-zero. Questo polinomio non ha nessun termine che non sia nullo, e perciò, propriamente non ha nessun grado, vale a dire che il suo grado è indefinito.

Le proposizioni precdenti sul grado della somma, prodotto e composizione di polinomi non si applicano se anche uno dei due è un polinomio-zero.[2].

Le formule valgono se si introducono alcune opportune estensione. É pertanto utile definire il grado di un polinomio-zero, pari a negative infinity, −∞, e introdurre quindi queste regole aritmetiche [3]

e

I seguenti esempi illustrano come questa estensione soddisfi quelle di somma, prodotto e compsoiszione di due polinomi.:

  • Il grado della somma è 3. Ciò soddisfa il risultato atteso, cioè che .
  • Il grado della differenza è . E, infatti, vale che: .
  • Il grado del prodotto è . E, infatti, vale che: .

Riduzione delle variabili[modifica | modifica wikitesto]

In un polinomio, è spesso utile considerare alcune variabili come costanti. Ad esempio, il polinomio

può essere considerato anche come polinomio in soltanto, dando a il ruolo di un valore costante. Alternativamente, può essere visto come polinomio in soltanto. Le proprietà dei polinomi che ne risultano possono essere molto diverse tra loro: qui ad esempio ha grado rispetto a , e solo rispetto a . Ad esempio, il polinomio

è di grado , ma se visto soltanto nelle singole variabili o o ha grado rispettivamente , e .

Polinomi di una sola variabile[modifica | modifica wikitesto]

Un polinomio generico con una sola variabile si può rappresentare con la seguente scrittura:

con diverso da zero. Con questa scrittura, è il termine noto e è il grado. si dice coefficiente direttore.

Un tale polinomio è

  • monico, se ,
  • completo, se tutti gli sono diversi da zero, per .

Radici di un polinomio[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Radice (matematica).

Una radice di un polinomio in una sola variabile è un numero tale che

cioè tale che, sostituito a , rende nulla l'espressione. Quindi se

il numero è radice se

Nel caso di polinomi a coefficienti reali l'insieme delle radici reali di un polinomio si può visualizzare sul piano cartesiano come l'intersezione del grafico della funzione polinomiale con l'asse delle ascisse.

In un dominio, un polinomio di grado può avere al più radici distinte. Esistono polinomi senza radici reali, come ad esempio

poiché per ogni reale. D'altra parte, per il teorema fondamentale dell'algebra ogni polinomio complesso ha esattamente radici complesse, contate con molteplicità.

Nella scuola vengono insegnate formule per trovare le radici dei polinomi di primo e secondo grado. Esistono formule analoghe per esprimere la radici di un polinomio di terzo e quarto grado in termini dei coefficienti, utilizzando solamente le quattro operazioni ed estrazioni di radice (la cosiddetta risoluzione per radicali). È stato invece dimostrato nella teoria di Galois che non esiste una formula generale di questo tipo per polinomi dal quinto grado in su.

Funzioni polinomiali[modifica | modifica wikitesto]

Sia un anello. A un polinomio

a coefficienti in si può associare una funzione polinomiale, che è la funzione da in sé definita da

per . Se è finito, allora polinomi diversi possono dare luogo alla stessa funzione. Per esempio se è il campo con un numero primo di elementi, allora al polinomio nullo e al polinomio è comunque associata, per il piccolo teorema di Fermat, la funzione che manda ogni elemento di in zero. Lo stesso può valere se è infinito, ma non è un dominio, per esempio se è un'algebra esterna infinita, in cui vale per ogni .

Se invece è un dominio infinito, allora vale il seguente principio d'identità dei polinomi, che afferma che a polinomi diversi sono associate funzioni polinomiali diverse (cioè la funzione sopra descritta che associa a un polinomio una funzione polinomiale è iniettiva):

due polinomi e a coefficienti in un dominio infinito tali che per ogni sono uguali.

Questo dipende dal fatto che in un dominio un polinomio non nullo ha solo un numero finito di radici.

Negli esempi che seguono, fissiamo eguale al campo dei numeri reali. A seconda del grado,

un polinomio di grado è una funzione costante,
un polinomio di grado è una funzione lineare,
un polinomio di grado è una funzione quadratica o conica,
un polinomio di grado è una funzione cubica.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Polinomio di grado 2:
f(x) = x2 - x - 2
= (x+1)(x-2)
Polinomio di grado 3:
f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2
= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
Polinomio di grado 4:
f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5
Polinomio di grado 5:
f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2

Derivata[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione polinomiale a coefficienti reali

è derivabile e la sua derivata è ancora un polinomio,

Ragionando quindi induttivamente, si può quindi affermare che le funzioni polinomiali sono infinitamente derivabili (o lisce) e che la derivata (n+1)-esima di un polinomio di grado è la funzione nulla. In realtà esse sono anche funzioni analitiche.

Anello di polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Anello dei polinomi.

Dato un anello , il simbolo

denota l'insieme di tutti i polinomi nelle variabili con coefficienti in . Ad esempio, può essere un campo come quello dei numeri reali o complessi.

L'insieme risulta essere anch'esso un anello, l'anello dei polinomi in variabili con coefficienti in . Lo studio delle proprietà di questo anello è una parte importante dell'algebra e della geometria algebrica.

Se è un campo, l'anello dei polinomi è un'algebra su , ed è anche un anello euclideo, nel senso che i polinomi possono essere divisi con quoziente e resto come i numeri interi.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • non è un dominio ad ideali principali, e quindi neanche un anello euclideo. Infatti l'ideale generato dai polinomi e non è principale.
  • non è un dominio ad ideali principali, e quindi neanche un anello euclideo. Infatti l'ideale generato dai polinomi e non è principale.
  • , se è un campo, è un dominio euclideo.
  • Il principio di identità dei polinomi vale solo su domini infiniti. Ad esempio, se è il campo finito con due elementi, cioè
allora il polinomio
è tale che per ogni in (cioè e ), benché non sia il polinomio nullo.

Derivata formale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Algebra differenziale.

Il calcolo della derivata di un polinomio si estende come definizione di derivata (chiamata derivata formale) nel caso in cui il polinomio abbia coefficienti in un anello , anche in assenza del calcolo infinitesimale. Molte delle proprietà della derivata si estendono anche alla derivata formale.

Somme di potenze di radici[modifica | modifica wikitesto]

Siano le n radici di un polinomio di grado , e sia . Allora

  • se si ha che
  • se si ha che

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

Caso particolare n=2[modifica | modifica wikitesto]

Per le relazioni radici/coefficienti un polinomio di secondo grado si può scrivere nella forma

dove

  • .

Allora

Caso particolare n=3[modifica | modifica wikitesto]

Per le relazioni radici/coefficienti un polinomio di terzo grado si può scrivere nella forma

dove

  • .

Allora

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Shafarevich (2003) afferma riguardo al polinomio zero: "In In questo caso, noi consideriamo che il grado del polinomio non è definito." (p. 27)
    Childs (1995) usa −1. (p. 233)
    Childs (2009) usa −∞ (p. 287), tuttavia esclude il polinomio zero nella sua Proposition 1 (p. 288) e in seguito spiega che questa proposizione 1 porta ad introdurre il polinomio zero "con la ragionevole assunzione che + m = per qualsiasi m intero ovvero m = ".
    Axler (1997) usa −∞. (p. 64)
    Grillet (2007) afferma: "Il grado del polinomi ozero a volte non è definibile, latre volte è definito in vario modo come −1 ∈ ℤ oppure come , in quanto deg 0 < deg A per ogni A ≠ 0." (dove A is è un polinomio.). Tuttavia, l'autore esclude il polinomio zero Proposition 5.3. (p. 121)
  2. ^ (EN) Eric W. Weisstein, Polinomio, in MathWorld, Wolfram Research.
  3. ^ Axler (1997) dà queste regole e afferma: "The 0 polynomial is declared to have degree so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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