Anello dei polinomi

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In algebra astratta, l'anello dei polinomi costruiti a partire da un certo anello è una struttura algebrica contenente tutte le espressioni polinomiali a coefficienti in .

Se è un dominio d'integrità, il suo campo dei quozienti è dato dall'insieme delle funzioni razionali a coefficienti nel campo dei quozienti di .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Se è un anello, si definisce come anello dei polinomi in una variabile a coefficienti in l'insieme

,

cioè l'insieme delle successioni a valori in definitivamente nulle. Tale insieme assume la struttura di anello se munito delle seguenti operazioni di somma e prodotto:

La seconda operazione è esattamente il prodotto di Cauchy delle due successioni. Tale anello si denota in maniera standard con e i suoi elementi possono essere rappresentati come

,

dove rappresenta un simbolo formale, che serve solo come "segnaposto" per indicare che il coefficiente è l'-esimo elemento della successione.

Anello dei polinomi in variabili[modifica | modifica wikitesto]

Si può definire l'anello dei polinomi in due variabili a coefficienti nell'anello induttivamente: essendo esso stesso un anello, lo si può prendere come l'anello di provenienza dei coefficienti e definire dunque

e, per variabili,

, con .

Tale costruzione permette di allargare le proprietà che ereditava da fino all'-esima variabile; ad esempio, se è un dominio, lo sarà anche e così via.

Gli anelli seguenti sono tutti isomorfi in modo naturale:

Rapporti tra e l'anello dei polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Alcune proprietà dell'anello si trasferiscono all'anello dei polinomi , mentre altre no; le prime sono significative perché, per induzione, possono poi essere estese agli anelli di polinomi in qualunque numero di variabili. Un esempio è la presenza dell'unità: è un anello unitario se e solo se lo è , così come ] è un dominio d'integrità se e solo se lo è : se lo è , infatti, il prodotto dei due monomi di grado massimo è ancora un monomio non nullo, unico con quel grado; viceversa, è un sottoanello di , formato dalle sue costanti, e quindi non può possedere divisori dello zero.

Dal punto di vista della fattorizzazione, se è un anello a fattorizzazione unica lo è anche (e quindi anche ogni ). La dimostrazione procede prima esaminando il caso in cui è un campo: in questa situazione, è sempre possibile dividere i coefficienti dei monomi di grado massimo, e quindi è possibile la divisione tra polinomi, che rende un anello euclideo con la valutazione data dal grado del polinomio; bisogna notare tuttavia che non è un campo, e quindi non è un anello euclideo: in effetti non è neppure un anello ad ideali principali, in quanto l'ideale non può essere generato da un singolo elemento. Passando poi ad un anello a fattorizzazione unica generico, si nota che è un sottoanello di , dove è il campo dei quozienti di ; la tesi segue quindi dal lemma di Gauss, che afferma che un polinomio primitivo (ovvero il cui massimo comun divisore tra i coefficienti è 1) è irriducibile in se e solo se è irriducibile in .

Un'altra importante proprietà che passa all'anello dei polinomi è la noetherianità: se è un anello noetheriano, lo è anche . Tale risultato è noto come teorema della base di Hilbert.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 9788808162700

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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