Assioma di separazione
Uno spazio topologico è un oggetto matematico molto generico, che può modellizzare tutti gli oggetti contenuti nello spazio euclideo, gli spazi metrici, e la maggior parte degli spazi di funzioni. Molti teoremi sugli spazi topologici necessitano di alcune ipotesi minime, che sono soddisfatte negli spazi metrici o euclidei. Queste ipotesi sono gli assiomi di separazione: questi chiedono generalmente che la topologia sia sufficientemente ricca da distinguere punti ed eventualmente chiusi disgiunti.
Assiomi
[modifica | modifica wikitesto]I principali assiomi di separazione sono indicati con la lettera "T" seguita da un numero progressivo. La lettera "T" viene dal tedesco "Trennung", che vuol dire proprio separazione.
Sia X uno spazio topologico. La lista di assiomi è la seguente[1]:
- X è T0 (o di Kolmogorov) se per ogni coppia di punti distinti x e y di X esiste un aperto U che contiene x e non contiene y, o viceversa (in altre parole, la topologia distingue i punti).
- X è T1 (o di Fréchet) se per ogni coppia di punti x e y di X esistono due aperti U e V tali che U contiene x e non y, mentre V contiene y e non x (equivalentemente: i punti sono chiusi[2].).
- X è T2 (o di Hausdorff) se per ogni coppia di punti x e y di X esistono due aperti U e V disgiunti che li contengono, rispettivamente.
- X è regolare se per ogni punto x e chiuso F disgiunti esistono due aperti U e V disgiunti che li contengono, rispettivamente.
- X è T3 se è T1 e regolare (implica T2).
- X è completamente regolare se per ogni punto x e chiuso F disgiunti esiste una funzione continua a valori reali che vale 0 su F e 1 su x (implica la regolarità).
- X è T3½ (o di Tychonov) se è T0 e completamente regolare (implica T3).
- X è normale se per ogni coppia di chiusi disgiunti F e G esistono due aperti disgiunti U e V che li contengono rispettivamente (implica la completa regolarità[3]).
- X è T4 se è T1 e normale (implica T3½[4]).
L'ipotesi che lo spazio sia T0 nella definizione di T3½ e T1 in quella di T3 e T4 fa sì che ciascuno di questi assiomi sia un raffinamento dei precedenti.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]- Ogni spazio normale è di Hausdorff e regolare[2].
- Ogni spazio metrico è normale e T3½ [2][1].
- Ogni spazio metrico è di Hausdorff e regolare, quindi T3.
- Uno spazio topologico con la topologia banale è T0 solo se consta di un punto solo.
- La retta avente come aperti tutte le semirette al variare di d fra i numeri reali è T0 ma non T1[5]..
- La topologia cofinita su un insieme infinito di punti è T1 ma non T2[6].
- Ogni spazio di Lindelöf regolare è normale[1].
Note
[modifica | modifica wikitesto]- 1 2 3 Spazi Metrici e Spazi Topologici, D. Dikranjan, Università di Udine.
- 1 2 3 Introductory Real Analysis, A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, 1970, pag. 85-87.
- ↑ La dimostrazione è immediata conseguenza della profonda proprietà del Lemma di Urysohn, di non facile dimostrazione.
- ↑ Per la dimostrazione di quest'ultimo fatto, vale quanto già detto per gli spazi normali.
- ↑ Per dimostrare che è T0 basta considerare compreso tra e , per dimostrare che non è T1 basta prendere due intorni di e , allora, preso il massimo tra e , gli intorni dovranno intersecarsi.
- ↑ Cenni di Topologia Generale, Alfonso Villani, pag.13, es. 5.1.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- separazione, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) Eric W. Weisstein, Separation Axioms, su MathWorld, Wolfram Research.
