Complesso simpliciale

In matematica, e in particolare nella topologia algebrica, un complesso simpliciale è un oggetto geometrico formato dall'unione di più simplessi (come punti, segmenti, triangoli e i loro analoghi a $n$ dimensioni) che si intersecano tra loro esclusivamente lungo facce comuni. Questa struttura permette di descrivere e studiare spazi topologici complessi attraverso una scomposizione discreta e combinatoria nota come triangolazione.

Formalmente, una collezione ${\mathcal {K}}$ di simplessi in uno spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ è definita come un complesso simpliciale (spesso chiamato "geometrico" per distinguerlo dalle varianti astratte) se soddisfa due condizioni fondamentali:

Ogni faccia di un simplesso appartenente a ${\mathcal {K}}$ è essa stessa un elemento di ${\mathcal {K}}$ .
L'intersezione di due simplessi qualsiasi di ${\mathcal {K}}$ è l'insieme vuoto oppure una faccia comune a entrambi.
L'insieme $K$ è localmente finito: ogni insieme limitato di $\mathbb {R} ^{n}$ interseca un numero finito di elementi di $K$ .

L'importanza dei complessi simpliciali risiede nella loro natura combinatoria, che facilita il calcolo di importanti invarianti topologici, come il gruppo fondamentale e soprattutto l'omologia (detta in questo contesto omologia simpliciale). Sebbene non tutti gli spazi topologici siano realizzabili come complessi simpliciali, essi rappresentano uno strumento essenziale per discretizzare problemi continui. Il loro corrispettivo puramente teorico-insiemistico, spogliato della realizzazione geometrica, è noto come complesso simpliciale astratto, mentre non vanno confusi con gli insiemi simpliciali, che sono strutture più astratte proprie della moderna teoria dell'omotopia.

Definizione

Un complesso simpliciale è un insieme $K$ di simplessi in $\mathbb {R} ^{n}$ tali che:

Ogni faccia di un simplesso in $K$ è un elemento di $K$ .
L'intersezione di due simplessi è vuota o è una faccia di entrambi.
L'insieme $K$ è localmente finito: ogni insieme limitato di $\mathbb {R} ^{n}$ interseca un numero finito di elementi di $K$ .

L'insieme $K$ non è necessariamente finito. La sua dimensione $\dim(K)$ è la massima dimensione di un simplesso in $K$ , e non può essere più grande di $n$ .

L'unione dei simplessi è il sostegno o supporto del complesso ed è indicata con $|K|$ . Come sottospazio di $\mathbb {R} ^{n}$ , è uno spazio metrico ed uno spazio topologico.

Chiusura, stella e collegamento

Due simplessi e la loro chiusura.
Un vertice e la sua stella.
Un vertice e il suo link.

Sia $K$ un complesso simpliciale e sia $S$ una collezione di simplessi in $K$ .

La chiusura di $S$ (denotata $\mathrm {Cl} (S)$ ) è il più piccolo sottocomplesso simpliciale di $K$ che contiene ciascun simplesso in $S$ . $\mathrm {Cl} (S)$ si ottiene aggiungendo ripetutamente a $S$ ciascuna faccia di ogni simplesso in $S$ .

La stella di $S$ (denotata $\mathrm {St} (S)$ ) è l'insieme di tutti i simplessi in $K$ che hanno una qualsiasi faccia in $S$ . (Si noti che la stella stessa non è generalmente un complesso simpliciale).

Il collegamento di $S$ (denotato $\mathrm {Lk} (S)$ ) equivale a $\operatorname {Lk} (S)=\mathrm {Cl} (\mathrm {St} (S))\setminus \mathrm {St} (\mathrm {Cl} (S))$ .

È la stella chiusa di $S$ meno le stelle di tutte le facce di $S$ .

Triangolazioni

Politopi

Una triangolazione di un politopo $P$ in $\mathbb {R} ^{n}$ è un complesso simpliciale $K$ il cui supporto è $|K|=P$ . Ad esempio, una triangolazione di un poligono è una suddivisione di questo in triangoli.

Spazi topologici

Una triangolazione di uno spazio topologico $X$ è un complesso simpliciale $K$ tale che $X$ è omeomorfo a $|K|$ .

Uno spazio topologico che ammette una triangolazione è detto triangolabile. Questo è necessariamente di Hausdorff e metrizzabile. Non tutti tali spazi hanno però delle triangolazioni: esistono delle varietà topologiche in dimensione 4 o superiore che non ne hanno. Questo non accade nelle dimensioni inferiori: tutte le varietà di dimensione 1, 2 e 3 sono triangolabili. La triangolabilità è quindi un fattore importante nella topologia della dimensione bassa.