Parte interna

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In matematica, e più precisamente in topologia, la parte interna di un insieme consiste in tutti i punti che sono intuitivamente «non sui bordi di ». Un punto della parte interna di è un punto interno di . La nozione di parte interna è per molti versi il duale della nozione di chiusura.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Se è un sottoinsieme di uno spazio euclideo, allora è un punto interno di se esiste una palla aperta centrata in e contenuta in .

Questa definizione si generalizza a ogni sottoinsieme di uno spazio metrico , infatti se è uno spazio metrico con metrica , allora è un punto interno di se esiste tale che sia in ogni volta che la distanza è .

La parte interna di un sottoinsieme di uno spazio euclideo è l'insieme di tutti i punti interni di S.

L'interno di è indicato con , , o . In altre parole:

dove si indica con un intorno di .

Nota che queste proprietà sono soddisfatte anche se "interno", "sottoinsieme", "unione", contenuto in", "più grande" e "aperto" sono sostituiti da "chiusura", "superinsieme", "intersezione", "che contiene", "più piccolo" e "chiuso". Per maggiori informazioni sull'argomento, vedi operatore di interno più in basso.

Caso generale in uno spazio topologico[modifica | modifica wikitesto]

Questa definizione si generalizza a uno spazio topologico sostituendo la "palla aperta" con "intorno". Nota che questa definizione non dipende dal fatto che gli intorni siano aperti oppure no.

Sia spazio topologico e sia . Un punto si dice interno a se tale che , ossia se è un intorno di .

La parte interna di un sottoinsieme è l'insieme di tutti i punti interni di ed è indicato con oppure .


Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Sia spazio topologico e siano , sottoinsiemi di .

Allora:

  • è un aperto in ed è il più grande aperto contenuto in ;
  • è aperto in ;
  • ;
  • .

Osserviamo che quindi queste proprietà valgono anche in un qualsiasi spazio metrico e spazio euclideo.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • In ogni spazio la parte interna dell'insieme vuoto è l'insieme vuoto.
  • In ogni spazio ,.
  • Se è lo spazio euclideo dei numeri reali, allora .
  • Se è lo spazio euclideo , allora la parte interna dell'insieme dei numeri razionali è vuoto.
  • Se è il piano complesso , allora
  • In ogni spazio euclideo, la parte interna di ogni insieme finito è l'insieme vuoto.

Sull'insieme dei numeri reali è possibile porre un'altra topologia diversa da quella standard.

  • Se , dove ha la topologia del limite inferiore, allora .
  • Se si considera su la topologia nella quale ogni insieme è aperto, allora .
  • Se si considera su la topologia nella quale gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e stesso, allora .

Questi esempi mostrano che l'interno di un insieme dipende dalla scelta della topologia dello spazio sottostante. Gli ultimi due esempi sono casi particolari dei seguenti:

  • In ogni spazio discreto, dal momento che ogni insieme è aperto, ogni insieme è uguale al suo interno.
  • In ogni spazio banale , dal momento che gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e stesso, abbiamo e per ogni sottoinsieme proprio di , .

Operatore parte interna[modifica | modifica wikitesto]

Dato un insieme , l'operatore parte interna è il duale dell'operatore di chiusura , nel senso che

e anche

dove indica lo spazio topologico contenente , e indica il complemento di un insieme.

Di conseguenza la teoria astratta degli operatori di chiusura e gli assiomi di chiusura di Kuratowski possono essere facilmente tradotti nel linguaggio degli operatori parte interna, sostituendo gli insiemi con i loro complementi.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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