Spazio T1

In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio T1 è uno spazio topologico che soddisfa il seguente assioma di separazione:

Per ogni coppia di punti distinti x e y esistono due aperti U e V tali che U contiene x e non y, mentre V contiene y e non x.

Definizione equivalente

Una condizione equivalente consiste nel chiedere che tutti i punti di X siano chiusi (cioè che sia chiuso ogni insieme fatto da un punto solo).

Dimostrazione dell'equivalenza

Supponiamo vera la prima definizione. Fissiamo x e lasciamo variare y. Per ogni y troviamo un aperto V che contiene y e non x. L'unione di tutti questi aperti è il complementare di x, ed è un aperto. Quindi il punto x è chiuso. Supponiamo ora vera la seconda. Due punti x e y sono chiusi, quindi i loro complementari V e U sono aperti e soddisfano le richieste della prima definizione.

Proprietà

Nella definizione non si chiede che gli aperti U e V siano disgiunti. Con questa richiesta più forte, lo spazio è infatti T₂ o di Hausdorff.

Esempi

• La topologia cofinita è la topologia meno fine fra quelle che soddisfano l'assioma T₁ su un dato insieme.
• Le topologie cofinite e di Zariski sono T₁ ma non di Hausdorff se l'insieme è infinito.
• Uno spazio T₁ finito è necessariamente discreto.

Voci correlate

• Spazio T0
• Spazio di Hausdorff anche detto T2
• Spazio regolare (vedi per T3)
• Spazio normale (vedi per T4)
• Assioma di separazione

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Spazio T1, su MathWorld, Wolfram Research.