Topologia finale

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In matematica, in particolare in topologia generale, la topologia finale o topologia forte su un insieme rispetto ad una famiglia di funzioni è la topologia più fine tale per cui le funzioni della famiglia sono continue.[1]

La struttura duale alla topologia finale è detta topologia iniziale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dato un insieme e una famiglia di spazi topologici in cui sono definite le funzioni , la topologia finale su è la topologia più fine tale per cui ogni funzione:

è continua.

Esplicitamente, nella topologia finale un insieme è aperto se e solo se è aperto in per ogni indice .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Characteristic property of the final topology

Un sottoinsieme di è aperto o chiuso se e solo se la preimmagine relativa a è rispettivamente aperta o chiusa in per ogni indice .

La topologia finale su può essere caratterizzata dalla seguente proprietà: una funzione è continua se e solo se è continua per ogni indice . Dalle proprietà della topologia naturale definita sull'unione disgiunta degli insiemi di una famiglia di spazi topologici segue che, data una qualsiasi famiglia di funzioni continue , esiste un'unica funzione continua:

Se la famiglia di funzioni ricopre (ovvero ogni è nell'immagine di qualche ) allora è una mappa quoziente se e solo se possiede la topologia finale determinata dalle mappe .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 111

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
  • (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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