Compattificazione di Alexandrov

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La compattificazione di Alexandroff (o compattificazione a un punto) di uno spazio topologico è uno spazio compatto che estende lo spazio di partenza mediante l'aggiunta di un unico punto (solitamente indicato con ).

Ad esempio, la compattificazione di Alexandroff della retta reale si ottiene aggiungendo un punto in modo che questo "congiunga" i due estremi della retta, che in tal modo diventa topologicamente equivalente alla circonferenza ; analogamente, la compattificazione di Alexandroff dello spazio è la sfera .

La compattificazione di Alexandroff di uno spazio è, in un certo senso, la più piccola estensione di che è anche compatta; più precisamente, se è uno spazio di Tychonoff non compatto ma localmente compatto, allora è l'elemento minimale dello spazio delle compattificazioni di . Si contrappone quindi alla compattificazione di Stone-Čech, che è la "più grande" compattificazione di .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio topologico. Allora la compattificazione di Alexandroff di è lo spazio , dove:

  • (con non è un elemento di );
  • .

In particolare, gli aperti di che contengono sono i complementari degli insiemi chiusi e compatti di .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Inclusione[modifica | modifica wikitesto]

L'inclusione

è una funzione continua. Se non è compatto, l'immagine di è un insieme denso in .

Compattezza[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio è compatto. Infatti, dato un ricoprimento aperto di , esiste certamente un aperto del ricoprimento che contiene . Poiché è compatto ed è ricoperto da , esiste un sottoricoprimento finito di . Un ricoprimento finito di è quindi dato da

Connessione[modifica | modifica wikitesto]

Se è connesso, non compatto e di Hausdorff, allora è connesso. Infatti se fosse unione disgiunta di due aperti, uno di questi conterrebbe e l'altro sarebbe necessariamente compatto. Poiché di Hausdorff, sarebbe quindi anche chiuso: per connessione, l'unico insieme non vuoto aperto e chiuso in è stesso, il quale non è però compatto.

Spazio di Hausdorff[modifica | modifica wikitesto]

Se è di Hausdorff e localmente compatto, allora anche è di Hausdorff, e viceversa. Infatti per ogni esistono due intorni disgiunti di e di : basta prendere contenuto in un compatto contenente , e il complementare di .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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