Compattificazione di Alexandrov

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La compattificazione di Alexandroff (o compattificazione a un punto) di uno spazio topologico X è uno spazio compatto che estende lo spazio di partenza X mediante l'aggiunta di un unico punto (solitamente indicato con \infty).

Ad esempio, la compattificazione di Alexandroff della retta reale si ottiene aggiungendo un punto in modo che questo "congiunga" i due estremi della retta, che in tal modo diventa topologicamente equivalente alla circonferenza S^1; analogamente, la compattificazione di Alexandroff dello spazio m<tha>\mathbb{R}^n</math> è la sfera S^n.

La compattificazione di Alexandroff X^\infty di uno spazio X è, in un certo senso, la più piccola estensione di X che è anche compatta; più precisamente, se X è uno spazio di Tychonoff non compatto ma localmente compatto, allora X^\infty è l'elemento minimale dello spazio delle compattificazioni di X. Si contrappone quindi alla compattificazione di Stone-Čech, che è la "più grande" compattificazione di X.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia (X,\mathcal{U}) uno spazio topologico. Allora la compattificazione di Alexandroff di (X,\mathcal{U}) è lo spazio (X^\infty, \mathcal{U}^\infty), dove:

  • X^\infty = X\cup\{\infty\} (con \infty non è un elemento di X);
  • \mathcal{U}^\infty=\mathcal{U}\cup\{V\cup\infty\mid X\setminus V {\rm\ chiuso \ e \ compatto\ in\ } X\}.

In particolare, gli aperti di (X^\infty, \mathcal{U}^\infty) che contengono \infty sono i complementari degli insiemi chiusi e compatti di X.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Inclusione[modifica | modifica wikitesto]

L'inclusione

 i:X\hookrightarrow X^\infty

è una funzione continua. Se X non è compatto, l'immagine di i è un insieme denso in X^\infty .

Compattezza[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio X^\infty è compatto. Infatti, dato un ricoprimento aperto \mathcal{R} di X^\infty, esiste certamente un aperto U\in mathcal{R} del ricoprimento che contiene \infty. Poiché X \setminus U è compatto ed è ricoperto da \mathcal{R}, esiste un sottoricoprimento finito \mathcal {R}' di X\setminus U . Un ricoprimento finito di X^\infty è quindi dato da

\mathcal{R}' \cup \{ U \}.

Connessione[modifica | modifica wikitesto]

Se X è connesso, non compatto e di Hausdorff, allora X^\infty è connesso. Infatti se fosse unione disgiunta di due aperti, uno di questi conterrebbe \infty e l'altro sarebbe necessariamente compatto. Poiché di Hausdorff, sarebbe quindi anche chiuso: per connessione, l'unico insieme non vuoto aperto e chiuso in X è X stesso, il quale non è però compatto.

Spazio di Hausdorff[modifica | modifica wikitesto]

Se X è di Hausdorff e localmente compatto, allora anche X^\infty è di Hausdorff, e viceversa. Infatti per ogni x\in X esistono due intorni disgiunti U di x e V di \infty: basta prendere U contenuto in un compatto K contenente x, e V il complementare di K.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica