Topologia iniziale

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In matematica, in particolare in topologia generale, la topologia iniziale su un insieme rispetto ad una famiglia di funzioni definite sull'insieme, anche detta topologia debole, topologia limite o topologia proiettiva, è la topologia meno fine tale per cui le funzioni della famiglia sono continue.[1]

Negli spazi vettoriali topologici, come gli spazi normati, solitamente la topologia iniziale è detta "topologia debole", e si tratta della topologia iniziale rispetto ai funzionali dello spazio duale.

La topologia di sottospazio e la topologia prodotto sono casi speciali di topologie iniziali. La struttura duale alla topologia iniziale è detta topologia finale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia dato un insieme ed una famiglia di spazi topologici. Si consideri una famiglia di funzioni che ha per dominio l'insieme . Si definisce topologia iniziale su rispetto alla famiglia di funzioni la topologia meno fine tale per cui le funzioni sono continue.[1]

La topologia iniziale può essere vista come la topologia generata dagli insiemi della forma , dove è un insieme aperto di .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Characteristic property of the initial topology

La topologia iniziale su può essere caratterizzata dalla seguente proprietà: una funzione è continua se e solo se è continua per ogni .

Per la proprietà della topologia prodotto ogni famiglia di funzioni continue definisce un'unica mappa:

detta in inglese evaluation map. Si dice che una famiglia di funzioni separa i punti in se per ogni esiste un indice i tale che . Questo avviene se e solo se è iniettiva. La funzione è un'immersione topologica se e solo se ha la topologia iniziale definita dalle funzioni , e tale famiglia di mappe separa i punti in .

Se in uno spazio è definita una topologia è spesso utile sapere se si stratta della topologia iniziale indotta da qualche famiglia di funzioni su . Una famiglia di funzioni separa i punti dai chiusi in se per ogni insieme chiuso e per ogni che non appartiene ad esiste un indice i tale per cui:

dove è l'operatore di chiusura.

In particolare, si dimostra che una famiglia di mappe continue separa i punti dai chiusi se e solo se gli insiemi , con aperto, formano una base per la topologia su . Segue che se separano i punti dai chiusi allora lo spazio ha la topologia iniziale indotta da tali funzioni. La relazione inversa non è valida, poiché in generale gli insiemi formano una sottobase per la topologia iniziale.

Se è uno spazio T0 allora ogni collezione di mappe che separa i punti dai chiusi in deve anche separare i punti. In tal caso, l'evaluation map è un'immersione.

Topologia debole in spazi vettoriali topologici[modifica | modifica wikitesto]

Sia un campo topologico, ovvero un campo con una topologia tale per cui l'addizione, la divisione e la moltiplicazione sono funzioni continue (nella definizione topologica di continuità). Sia uno spazio vettoriale topologico su , ovvero uno spazio vettoriale su con una topologia tale per cui la somma vettoriale e la moltiplicazione per scalare sono continue.

Si possono definire diverse topologie su utilizzando lo spazio duale continuo , composto da tutti i funzionali lineari su (a valori in ) continui rispetto alla topologia data. La topologia debole su è la topologia iniziale rispetto a . Si tratta della topologia più grezza tale per cui ogni funzionale di X* è una funzione continua.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Reed, Simon, Pag. 111

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6, (Dover edition).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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