Coomologia di De Rham

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Campo vettoriale corrispondente ad una forma differenziale sul piano bucato di un insieme localmente chiuso, esso mostra che la coomologia di De Rham di questo spazio non è banale.

In matematica la coomologia di De Rham è uno strumento usato in topologia algebrica e differenziale per studiare le varietà differenziabili. Prende il nome dal matematico Georges De Rham.

Definito usando le forme differenziali, la coomologia di De Rham è un invariante topologico delle varietà differenziabili che (intuitivamente) conta il loro "numero di buchi -dimensionali".

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Preliminari[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Forma differenziale.

Sia una varietà differenziabile di dimensione e un intero con

Tutte le -forme differenziali su formano uno spazio vettoriale reale che viene indicato con

Questo spazio ha dimensione finita. In particolare, per questo spazio è lo spazio delle funzioni differenziabili a valori in .

Il differenziale esterno di una forma differenziale è una -forma, indicata con il simbolo . Il differenziale definisce quindi una mappa

che risulta essere una applicazione lineare fra i due spazi vettoriali.

Complesso di cocatene[modifica | modifica wikitesto]

Il complesso di De Rham è il complesso di cocatene seguente:

Poiché ogni forma esatta è anche chiusa, vale per ogni forma , ovvero

D'altra parte, una forma chiusa può non essere esatta, e la coomologia di De Rham misura proprio questo fenomeno; la coomologia è definita come l'omologia del complesso di De Rham nel modo seguente. Siano

i sottospazi formati rispettivamente dalle -forme chiuse ed il sottospazio delle -forme esatte. Poiché ogni forma esatta è chiusa, vale l'inclusione

Il -esimo gruppo di coomologia di De Rham è definito come il quoziente di questi due spazi:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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