Spazio vettoriale quoziente

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, lo spazio vettoriale quoziente o spazio quoziente è uno spazio vettoriale ottenuto da una coppia di spazi vettoriali uno contenuto nell'altro. Lo spazio quoziente si ottiene "collassando" allo zero. Si indica con , che si legge mod .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dato uno spazio vettoriale ed un sottospazio vettoriale , lo spazio quoziente è l'insieme quoziente di (cioè l'insieme delle classi di equivalenza su ) determinato dalla relazione d'equivalenza:

Cioè, è equivalente a se uno può essere ottenuto dall'altro aggiungendo un elemento del sottospazio .

La classe di equivalenza di è spesso denotata con:

dal momento che è data da:

Lo spazio quoziente è quindi definito come , l'insieme di tutte le classi di equivalenza su per . La funzione che associa ad un vettore la classe di equivalenza è detta mappa quoziente.

Come nella costruzione di un gruppo quoziente, addizione e moltiplicazione per scalare "passano al quoziente": sono cioè definite in prendendo dei rappresentanti qualsiasi delle classi d'equivalenza. La dimensione dello spazio quoziente si dice codimensione di in . Se è finito-dimensionale, questo è esattamente:

Lo spazio quoziente è uno spazio vettoriale astratto, non necessariamente isomorfo a un sottospazio di .

Ad esempio, sia l'usuale piano cartesiano e una retta passante per l'origine. Allora, assumendo che ogni retta è parallela a se stessa, lo spazio quoziente rispetto alla relazione di parallelismo tra rette può essere identificato come l'insieme di tutte le rette in parallele a . In generale, se è una somma diretta di sottospazi e :

allora il quoziente è naturalmente isomorfo a . Un importante esempio di spazio funzionale quoziente è lo spazio Lp.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Somma diretta[modifica | modifica wikitesto]

In presenza di una somma diretta:

lo spazio quoziente è isomorfo in modo naturale a . L'isomorfismo è dato da:

dove un elemento di è scritto in un unico modo come , con appartenenti rispettivamente a .

Dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Vale la successione esatta corta di spazi vettoriali:

In particolare:

Spazi di Banach[modifica | modifica wikitesto]

Se è uno spazio di Banach e un sottospazio chiuso di , allora il quoziente è ancora uno spazio di Banach. Per definire una norma su si pone:

Lo spazio vettoriale quoziente è dunque completo rispetto alla norma.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Sia lo spazio di Banach delle funzioni continue a valori reali e definite sull'intervallo , equipaggiato con la norma del sup. Sia il sottospazio delle funzioni tali che . Allora la classe di equivalenza di qualche funzione è determinata dal suo valore in , e lo spazio quoziente è isomorfo a .

Se è uno spazio di Hilbert allora lo spazio quoziente è isomorfo al complemento ortogonale di .

Generalizzazione a spazi localmente convessi[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio quoziente di uno spazio localmente convesso per un sottospazio chiuso è ancora localmente convesso. Infatti, si supponga uno spazio localmente convesso in cui la topologia è generata da una famiglia di seminorme , con un insieme di indici. Sia un sottospazio chiuso e si definiscano le seminorme su nel seguente modo:

Allora è localmente convesso e la topologia definita su di esso è la topologia quoziente. Se inoltre è metrizzabile allora lo è anche . Se è uno spazio di Fréchet allora lo è anche .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica