Norma uniforme

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In analisi matematica, la norma uniforme, norma del sup o norma di Chebyshev di una funzione definita in un dominio a valori reali o complessi è la quantità non negativa:

Se non è una funzione limitata, questa quantità può anche essere infinita (ad esempio per la funzione esponenziale). Altrimenti essa soddisfa le proprietà di una norma: per questo motivo generalmente viene considerata solo per funzioni limitate.

Se è una funzione continua su un intervallo chiuso, o più generalmente in un insieme compatto, allora l'estremo superiore è raggiunto per il teorema di Weierstrass, quindi possiamo sostituire l'estremo superiore con il massimo. In questo caso, la norma è anche chiamata norma del massimo.

In particolare, nel caso di un vettore in uno spazio di dimensione finita, prende la forma:

La ragione del pedice "∞" è data dal seguente limite, valido se e la misura di è finita:

dove:

dove è la norma p (e l'integrale diventa una somma se è un insieme discreto).

La funzione binaria:

è quindi una metrica nello spazio di tutte le funzioni limitate nel particolare dominio. Una successione converge uniformemente alla funzione se e solo se:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, New York, McGraw-Hill, 1964, p. 151, ISBN 0-07-054235-X.
  • (EN) Taylor, A. E. and Lay, D. C. Introduction to Functional Analysis, 2nd ed. New York: Wiley, 1980

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